В численных методах часто используются операторы: E, D, Ñ, d

39. Например, оператор смещения - E представляется следующим образом

40. Ey(x)=y(x+h).

41.

42. § 1.2.2. Разностные операторы. Таблицы конечных разностей.

43.

44. Разностные операторы D, Ñ, d определяются так:

45. Оператор нисходящих (правых) разностей Dy(x)= y(x+ h) - y(x) или Dy_к=y_к+1 - y_к

46. Оператор восходящих (левых) разностей Ñy(x)= y(x) - y(x- h) или Ñy_к=y_к - y_к-1

47. Оператор центральных (средних) разностей dy(x)= y(x+ h /2)- y(x - h /2)

48. или dy_к=y_к+0.5 - y_к-0.5

49. Разностный оператор, используемый многократно позволяет получать повторные разности порядка r. Например D^ry_к=D^r-1y_к+1 - D^r-1y_к.

50. С помощью этих операторов получают последовательности конечных разностей, которые удобно располагать в виде таблиц.

51. Таблица 1

52.

53. Таблица правых разностей.

54.

55.

56. Таблица 2

57.

58. Таблица левых разностей.

59.

60. Таблица 3

61.

62. Таблица центральных разностей.

63.

64. Принято все табличные разности записывать целыми числами в единицах последнего разряда без нулей впереди. По первым разностям составляются вторые и т.д. Для получения r разности нужно иметь r + 1 значений функции. Разностный оператор можно применять к функции.

65. Пример.

66. Если y=ax² +bx +c D y=a Dx² + bDx +cD1 =a[(x+h)²-x²] +b[(x+h)-x]+c[1-1]=

67. 2ahx+ah² +bh.Таким образом можно вычислять разность от точки x с шагом h.

68.

69. § 1.2.3. Разностные уравнения

70.

71. Разностным уравнением порядка k табличной функции f называют уравнение вида:

72. y_{n =} F(y_n-1, y_n-2, …y_n-к, х), где F известная функция (k+1) переменных. Это уравнение представляет собой рекуррентную формулу, позволяющую по известным значениям функции f в k последовательных точках найти её значение в следующей точке. Если заданы значения y₀, y₁,y₂, …y_к-1, то решение разностного уравнения порядка k определяется однозначно. При этом начальные значения играют роль начальных условий.

73. Например, для дифференциального уравнения y´ + y = j(x) с учетом, что y´ =(y_n+1 - y_n)Dx разностное уравнение запишется так: y_n+1 = Dx[j(x) - y_n].В качестве первого значения берется y₀.

74. Разностные уравнения для простых дробно-рациональных функций можно составить следующим образом. Пусть требуется вычислить значение функции y= f(x).

75. Запишем функцию в виде F(x, y) = 0. Если F(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную F_y^’(x, y) ¹ 0,то для известного приближенного значения y_n по теореме Лагранжа о среднем значении функции справедливо:

76. F(x, y_n)= F(x, y_n) - F(x, y) = (y_n - y) F_y^’(x, y_np), где y_np - промежуточное значение между y_n и y. Тогда

77. y= y_n - F(x, y)/ F_y^’(x, y_np)

78. Полагая y_np» y_n,получим разностное уравнение

79. y_n+1= y _n - F(x, y _n)/ F_y^¢(x, y _n)

80. Например, для функции y =x^0.5 x > 0.

81. F(x, y)= y² -x, а F_y^¢(x, y)= 2y. тогда

82. y_n+1= y_n - (y _n ² - x) / 2 y _n = 0.5 (y _n+ x / y _n).

83. По аналогии можно получить разностные уравнения для функций:

84.

85. y_n+1= y _n(2-x y _n); y_n+1= y _n 0.5(3-x y ² _n); y_n+1=0.33333 (2 y _n - x / y ² _n);

86.

87. Тестовые задания для самопроверки усвоения темы.

88. 1. y = 3x²; x₁= 1.5; x₂= 2.5; x₃= 3.5; Составить табличные значения числовой последовательности y. Нормировать значение аргумента табличной функции.

89. 2. а) y(x+h) 1. Выражение для оператора центральных разностей.

90. б) y(x+ h) - y(x) 2. Выражение для оператора левых разностей.

91. в) y(x) - y(x- h) 3. Выражение для оператора правых разностей.

92. г) y(x+ h /2)- y(x - h /2) 4. Выражение для оператора смещения.

93. Поставить в соответствие букве – цифру (классифицировать объекты).

94. 3. Задана аналитическая функция y = a₀ + a₁x + a₂x²; a₀ =1; a₁ = 0.5; a₂ = 0.1; Составить табличную функцию для пяти значений х₀=1 с шагом 0.5. Для полученной табличной функции составить таблицу правых первых и вторых разностей.

95. 4. Ñy(x) – это обозначение оператора правых разностей?

96. 5. Составить разностное уравнение для функции y = 1/ x².

97.

98.

99.