Раздел 2

Методы и алгоритмы многочленного и немногочленного приближения

ТЕМА 2.1. Прикладные задачи интерполяции и аппроксимации и их алгоритмизация. Методы и алгоритмы решения линейных алгебраических уравнений

§ 2.1.1. Основные понятия теории приближения функций.

В инженерной практике часто приходится следующую задачу. Проводится эксперимент, в результате которого получают табличную функцию {X_i,Y_i}, состоящую из двух числовых последовательностей приближенных чисел. В этой таблице, каждому значению входной переменной X_i соответствует значение выходной переменной Y_i.

В этой ситуации возникают два типа задач. Первая, можно ли представить табличные данные в виде математического описания как непрерывную функцию Y=f(X).

Вторая, как вычислить значение Y в интервале, не совпадающем с табличными значениями X_i и Y_i. Обе эти задачи называют задачами приближения функций. При решении таких задач необходимо принимать решение по четырем аспектам:

- какие и (сколько) узлов использовать?

- какой вид должна иметь функция Y=f(X)?

- какой критерий соответствия использовать для оценки степени совпадения табличной и аналитической функции?

- с какой точностью они должны совпадать?

Получение эмпирической формулы по табличным данным называют задачей аппроксимации, а вычисление значения функции, заданной таблично, в промежутках между узлами аргумента называют задачей интерполяции.

При ответе на первый вопрос обычно руководствуются следующим. Как правило, стараются брать равноудаленные узлы. При больших погрешностях измерения или помехах необходимо брать количество точек с точки зрения статистических критериев.

Функцию f(X) можно выбрать из трех классов известных функций:

- первый включает в себя линейную комбинацию функций 1, х, х², …, хⁿ.

- второй образуют функции sin(a_ix), cos(a_ix);

- третий образуют экспоненциальные функции e ^{– a}_i ^x .

Использование первого варианта называют многочленным приближением, а остальные немногочленным.

В качестве меры согласия используют следующие критерии:

- точное совпадение в узловых точках f(X_i) = Yi;

- сумма квадратов отклонений в узловых точках S[Yi- f(X_i)]² должна быть наименьшей (минимальной);

- максимальное отклонение | (f(X) - Y_i).| < e; D = max| (f(X) - Y_i)|; a < X < b, где D - абсолютное отклонение, должно быть минимальным.

Второй критерий часто называют “наименьшие квадраты”, а третий равномерным приближением.

До возможности использования быстродействующих ЭВМ математиками было разработано множество различных методов для решения задачи приближения функций. Наиболее рациональные сейчас используются в математических пакетах MatLab, Matematika, Maple и др. Однако, для понимания существа этих методов целесообразно рассмотреть некоторые из них.

§ 2.1.2. Интерполяция многочленами с неравномерными и кратными узлами.

Интерполяция представляет собой точечную аппроксимацию функций. Задача ставится следующим образом: для данной табличной функции {X_i,Y_i} со значениями в n +1 точке, построить функцию y = f(x) в форме степенного многочлена степени Pn (x) не выше n, принимающего в заданных точках те же значения, что и функция {X_i,Y_i}, т.е. v(xi) = yi

i = 1,2,... n при условии, что среди значений xi нет одинаковых, т.е. xi ≠ xk при i ≠ k.

Для отыскания коэффициентов полинома используется 3 типа методов:

1. Построение Pn (x) по значениям функции {X_i,Y_i}.

2. Построение полинома с использованием разностей {X_i,Y_i}.

3. Итерационные методы.

Подробно образом рассмотрим две разновидности первой группы методов. Остальные методы подробно описаны в рекомендованной литературе.

1. Интерполяция с помощью линейного полинома.

Так, при значениях табличной функции n +1=2 Pn(x) = a₀ + a₁x. Для получения a₀, a₁ воспользуемся значением xi, yi. Для этого нужны две узловые точки (x₀, y₀), (x₁, y₁)_, . Тогда, по заданному критерию нужно решить систему из двух уравнений, что позволяет найти значения a0 и a1:

a₀ + x₀ a₁ = y₀

a₀ + x₁ a₁ = y₁

Пример 1. x₀ = 1 y₀ =5.2, x₁ = 2, y₁ = 8.6

Решив эту систему методом Крамера, получим a₀ = 1.8; a₁ = 3.4. Легко проверить, что условие соблюдается, так как Pn(x) = 1.8 + 3.4x. По этому выражению можно вычислить значение y_i между узлами. Например, при x= 1.3 y_i= 6.22.

Можно и не вычислять коэффициенты Pn(x), а записать интерполяционную формулу, в виде уравнения прямой, проходящей через две координаты точки на плоскости, координаты которых известны.

y_i = (x-x₀)/(x₁-x₀)×(y₁ - y₀) + y₀

Это формула линейной интерполяции.

Если имеется три узла можно получить коэффициенты интерполяционного полинома второй степени: Pn(x) = a₀ + a₁x + a₂x², решив систему из трех линейных алгебраических уравнений. Однако при большом количестве экспериментальных точек это не всегда эффективно.

2. Интерполяционный полином, формулу для которого предложил математик Ж. Лагранж в 1793 году.

При наличии n+1 узлов

, где

, где знак ´

штрих у знака произведения означает “исключая j – е значение”

Так при n=1 полиномы L(x) запишутся так:

При n=2

При n=3 будет четыре слагаемых и т. д. При кратных узлах вычисления полинома упрощаются.

Если число узлов табличной функции велико (особенно при проведении эксперимента), то для приближения аналитической функции используют метод аппроксимации.

§ 2.1.3. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.

При использовании этого метода пользуются вторым критерием согласия: сумма квадратов отклонений в узловых точках S[Yi- f(X_i)]² должна быть наименьшей (минимальной) и выбирают вид аппроксимирующей функции.

Допустим f(X_i) = a₀ + a₁x, т.е. искомая функция является линейной. Поставим условие, чтобы мера приближения была среднеквадратичной, т.е.

Поставим условие, чтобы S → min. Таким образом, задача аппроксимации сводится к решению задачи оптимизации.

S = S [Y_i - (a₀ + a₁x_i)]² - функция двух переменных, т.е. для решения задачи аналитически надо найти частные производные ¶S/¶a₀ и ¶S/¶a₁, а затем приравнять их к нулю.

Раскроем знак суммы относительно неизвестных a₀ и a₁

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, находят значения коэффициентов a₀, a_1.

Указанный метод обобщается на случай многочлена n порядка. В этом случае

а для получения неизвестных необходимо решить систему из n алгебраических линейных уравнений (СЛАУ). Метод наименьших квадратов используют и при аппроксимации экспериментальных данных нелинейными функциями (дробно- рациональной, показательной, экспоненциальной, логарифмической и т.п.).

Например, если надо получить y= f(x) в виде y = ax^b, то преобразуя ее к выражению, lg y_i = lg a + b lg x_i и вводя новые переменные получим

z_i = с + b x_i, где z_i= lg y_i, а с = lg a

Коэффициенты c, b находятся методом наименьших квадратов. Затем определяется

a = 10^c.

Для решения СЛАУ существует много методов, но целесообразно рассмотреть один из них – метод Гаусса, который и разработал метод наименьших квадратов (МНК) в1795 году.

Законы природы записаны на языке математики

Галилео. Галилей (1564 - 1642)

§ 2.1.4 Методы и алгоритмы решения системы линейных алгебраических уравнений.

2.1.4.1 Основные понятия и обозначения.

Задачи автоматизации технологических процессов часто сводятся к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Например, при обработке результатов эксперимента по оценке статических характеристик объектов управления. Кроме того, в методах решения дифференциальных уравнений, когда они заменяются системой разностных уравнений необходимо решать СЛАУ.

Наиболее распространенными являются две формы представления СЛАУ: координатная

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ ¼+ a₁nx_n = b₁

¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼

a_n1x₁+ a_n2x₂+ ¼+ a_nnx_n = b_n

и матричная.

AX=B, где

A- квадратная матрица коэффициентов при неизвестных;

X - вектор столбец неизвестных;

B - вектор столбец свободных членов.

В ряде случаев решаются системы уравнений с некоторыми специальными видами (структурами) матриц: - симметрическая (ее элементы расположены симметрично относительно главной диагонали a_{i j}=a_{j i});

- верхняя треугольная с равными нулю элементами, расположенными ниже диагонали;

- клеточная (её ненулевые элементы составляют отдельные группы – клетки);

- ленточная (её ненулевые элементы составляют ленту, параллельную диагонали);

- единичная и нулевая матрицы.

Выбор метода решения СЛАУ зависит от структуры матрицы А.

Существует два типа методов решения СЛАУ - прямые и итерационные. Прямые используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. Они дают решение после выполнения заранее известного числа операций. Они просты и универсальны, но не учитывают структуру матрицы А. Существенным недостатком прямых методов, является накапливание погрешностей (из-за ограниченности разрядной сетки ЭВМ) в процессе решения, поскольку на любом этапе используют результаты предыдущих операций. Это особенно опасно для больших систем, когда резко возрастает общее число операций, а также для плохо обусловленных систем, весьма чувствительных к погрешностям. Поэтому прямые методы используются обычно для систем с n меньше 200 и плотно заполненной матрицей.

Итерационные методы - это методы последовательных приближений. В них сначала задается некоторое начальное приближение, а затем по некоторому алгоритму проводиться один цикл вычислений называемый итерацией. Результатом итерации является следующее приближение. Итерации проводят до получения решения с требуемой точностью.

2.1.4.2. Прямые методы решения системы линейных алгебраических уравнений.

В литературе описано несколько видов прямых методы решения СЛАУ: матричный, Крамера, Гаусса, квадратного корня, отражения, прогонки, оптимального исключения и другие. Алгоритм матричного метода основан на следующем свойстве матриц:

Если det A ¹0, то существует обратная матрица A_-^-1 . Умножив правую и левую части матричного выражения СЛАУ, получим A_-^-1AC = BA_-^-1 или C = A_-^-1B. Алгоритм использует операции обращения и умножения матриц.

Формулы Крамера не что иное, как частный случай матричного метода. x_n = D/D_n, где D и D_n соответствующие определители. D= det A. а D_n определитель D. в котором i столбец заменен столбцом свободных членов b_i.

Идея метода Гаусса состоит в том, что исходную СЛАУ с прямоугольной матрицей коэффициентов при неизвестных преобразуют к верхней треугольной. Например, если для системы третьего порядка исходное уравнение (а) преобразуют к форме (с):

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ a₁₃x₃ = b₁ a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ a₁₃x₃ = b₁ a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ a₁₃x₃ = b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ a₂₃x₃ = b₂ a^¢ ₂₂ x₂+ a^¢ ₂₃x₃ = b^¢ ₂ a^¢ ₂₂ x₂+ a^¢ ₂₃x₃ = b^¢¢₂

a₃₁x₁+ a₃₂x₂+ a₃₃x₃ = b₃ a^¢ ₃₂ x₂ +a^¢ ₃₃ x₃ = b^¢ ₃ a^¢¢ ₃₃ x₃ = b^¢¢ ₃

(а) (b) (с)

Коэффициенты a^¢ ₂₂, a^¢ _23, b^¢ ₂, b^¢ 3, a^¢¢ ₃₃, b^¢¢₂, b^¢¢ ₃ вычисляются по следующему алгоритму.

1 Коэффициенты первого уравнения -1(а) разделить на a₁₁ затем умножить на a₂₁ и вычесть из него второе - 2(а). Аналогичную операцию проделать с уравнениями 1(а) и 3(а). В результате сформируется система (b).

2 Коэффициенты второго уравнения 2(b) разделить на a^¢ ₂₂ затем умножить на a^¢ ₃₂ и вычесть из него третье 3(b). В результате сформируется система (с).

Эта процедура называется прямым ходом алгоритма. Обратным ходом называют вычисление корней из системы (с). Одной из модификаций метода Гаусса является алгоритм с выбором главного элемента. Требование неравенства нулю диагональных элементов a_kk, на которые происходит деление в процессе исключения переменных. заменяется более жестким: из всех оставшихся элементов в k-ом столбце элементов нужно выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента a_kk.

Пример 1 Задана СЛАУ. Решить методом Гаусса.

Прямой ход

2.7x₁+ 3.3x₂+ 1.3x₃ = 2.1 2.7x₁+ 3.3x₂+ 1.3x₃ = 2.1 2.7x₁+ 3.3x₂+ 1.3x₃ = 2.1

3.5x₁- 1.7x₂+ 2.8x₃ = 1.7 5.98x₂ -1.11x₃ = 1.02 5.98x₂ - 1.11x₃ = 1.02

4.1x₁+ 5.8x₂- 1.7x₃ = 0.8 - 0.79 x₂ +3.67 x₃ = 2.39 -3.52x₃ = -2. 52

Исходная система. Первое прямое преобразование. Второе прямое преобразование

a^¢ ₂₂ = (3.3/2.7)·3.5 – (-1.7) =5.98; a^¢ ₂₃ = (1.3/2.7)·3.5 – (2.8)= - 1.11; b^¢ ₂ =(2.1/2.7)·3.5 – (1.7)= 1.02

a^¢ ₃₂ = (3.3/2.7)·4.1 – (5.8) = - 0.79 a^¢ ₃₃ =(1.3/2.7)·4.1 – (-1.7)= 3.67 b^¢ ₃ =(2.1/2.7)·4.1 – (0.8)= 2.39

a^¢¢ ₃₃ = (- 1.11/5.98)·(- 0.79) - 3.67 = -3.52 b^¢¢ ₃ = (1.02/5.98)·(- 0.79) - 2.39 = -2. 52

После второго прямого преобразования исходная система приведена к треугольной.

Обратный ход. x₃ = -2. 52/(-3.52) = 0.7159 x₂ = (1.02 – (-1.11·0.7159))/5.98 = 0.3035

x₁ = (2.1 – 1.3·0.7159 – 3.3· 0.7159)/2.7 = 0.0621

Проверка 2.7·0.0.061+ 3.3·0.3035+ 1.3·0.7159 = 2.0999. Невязка 2.1 – 2.0999 = 0.0001.

3.5·0.061- 1.7·0.3035+ 2.8·0.7159 = 1.7021 Невязка 1.7 – 1.7021 = - 0.021. Допустимо.

2.1.4.2. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений.

Суть итерационных методов сводится к следующему.

1.Исходная система AX=b приводится к виду CX= BX+ D, где матрицы C,B и вектор D определяются по матрице А и вектору b.

2.Расставляются индексы по номерам приближений с заданием нулевого приближения CX^(k+1)= BX^k+ D, k = 0,1,2,... где x⁽⁰⁾ - заданный вектор x⁽⁰⁾ =(x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾,..., x_n⁽⁰⁾).

3.Итерационный процесс останавливают, когда норма вектора ||x^k - x^(k-1) || < e

Различные итерационные методы отличаются первыми двумя шагами. Метод простой итерации предполагает, что C = E=1, тогда X = BX + D при условии сходимости метода ||B|| < 1.

В координатной записи это выглядит так

x₁^(k+1) = b₁₁ x₁^(k) + b₁₂ x₂^(k) +.....+ b_1n x_n^(k) + d₁

x₂^(k+1) = b₂₁ x₁^(k) + b₂₂ x₂^(k) +.....+ b_2n x_n^(k) + d₂

_{.......................................................................................................}

x_n^(k+1) = b_n1 x₁^(k) + b_n2 x₂^(k) +.....+ bn_1n x_n^(k) + d_n,

где первая норма матрицы B. Суммируют абсолютные значения коэффициентов при неизвестных по строкам и выбирают максимальное значение. Можно использовать также вторую и третью нормы.

,

Метод Гаусса - Зейделя отличается от метода простой итерации лишь тем, что при вычислении (k+ 1) приближения, полученные x^(k+1) компоненты вектора x^(k+1) сразу же используются в вычислениях.

x₁^(k+1) = b₁₁ x₁^(k) + b₁₂ x₂^(k) +.....+ b_1n x_n^(k) + d₁

x₂^(k+1) = b₂₁ x₁^(k+1) + b₂₂ x₂^(k) +.....+ b_2n x_n^(k) + d₂

_{.......................................................................................................}

x_n^(k+1) = b_n1 x₁^(k+1) + b_n2 x₂^(k) +.....+ bn_1n x_n^(k) + d_n

Начальный вектор X⁽⁰⁾ задается k = 0, 1, 2... В матричной записи это можно представить так:

X^(k+1) = Ux^(k) +Lx^(k+1) + d, где матрицы U, L получены разложением В в сумму В = U + L

U - верхняя треугольная часть матрицы В, включая диагональ;

L - нижняя под диагональная матрицы B т.е. в методе Гаусса - Зейделя C = (E - L), B = U.

Условие сходимости итерационного процесса ||(E - L)^-1 B|| < 1

Пример 2 Задана СЛАУ. Решить методом простой итерации.

4x₁+ 0.24x₂ – 0.08x₃ = 8 x₁ = 2 – 0.06x₂ + 0.02x₃

0.09x₁ + 3x₂ – 0.15x₃ = 9 x₂ = 3 – 0.03x₁ + 0.05x₃

0.04x₁ – 0.08x₂ + 4x₃ = 20 x₃ = 5 – 0.01x₁ + 0.02x_{2 Нулевое приближение (свободные члены)}

_{Исходная система Преобразованная система || B || = {0.08, 0.08, 0.03} Условие сходимости соблюдается.}

_{Условие сходимости – диагональные коэффициенты должны быть больше суммы остальных в матрице исходной СЛАУ.}

Первое приближение

Второе приближение

Третье приближение

Итерации можно прекратить, так как разница между вторым и третьим приближением мала.

Тестовые задания для проверки усвоения темы.

1. y_i = (x-x₀)/(x₁-x₀)×(y₁ – y₀) + y_0. Это выражение для интерполяционного многочлена Лагранжа?

2. x₀ = 2 y₀ =7.2, x₁ = 3, y₁ = 5.6. Найти коэффициенты линейного уравнения P_n(x) = a₀ + a₁x..

3. Для условий задания 2 построить интерполяционный многочлен Лагранжа и вычислить значение функции при x = 2.7.

x₀ = 1 y₀ =1.4, x₁ = 1.5, y₁ = 2.6, x₂ = 2 y₂ =9.2, x₃ = 2.5, y₃ = 15.6. Найти коэффициенты нелинейного уравнения y = ax^b.

4. a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ ¼+ a₁nx_n = b₁

¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼

a_n1x₁+ a_n2x₂+ ¼+ a_nnx_n = b_n

Это матричная форма записи СЛАУ?

5. Чем отличается итерационный метод решения СЛАУ, от прямого?

6. Решить заданную СЛАУ методом Гаусса.

7. Решить заданную СЛАУ методом простой итерации.

8. Проверить условие сходимости заданной исходной СЛАУ.

9. Проверить условие сходимости преобразованной СЛАУ.

Раздел 2. Методы и алгоритмы многочленного и немногочленного приближения

Тема 2.2.Прикладные задачи численного дифференцирования и интегрирования.

Если первая производная позволяет

нам для данного момента времени

описать характер какого-либо

движения, то вторая помогает

проникнуть в его скрытые причины

Вильям Томсон (лорд Кельвин)

1824-1907

§ 2.2.1 Методы численного дифференцирования

Численная реализация оператора дифференцирования, если функция задана таблично, может быть осуществлена принципиально двумя способами:

1. Приближением производной с помощью отношения конечных разностей.

2. Приближением производной через значения функции в узлах таблицы.

Использование конечных разностей осуществляется двумя способами:

1. Непосредственное использование первых разностей.

Если известна таблица функции и первые разности, то производная в точке х₁ следующим образом

Таблица 1

dy / dx = (y₂ – y₁) / h - с помощью левой восходящей разности

dy / dx = (y₁ – y₀) / h - с помощью правой нисходящей разности

dy / dx = (y₂ – y₀) / 2h - с помощью центральной разности, где h – шаг табличной функции.

Пример 1. Вычислить производную в точке х = 1 для функции y = x³, если известна таблица функции.

Таблица 2

Выберем два значения табличной функции справа (y₂) и слева (y₀) от точки, в которой надо вычислить значение производной. Используя таблицу 1, вычислим значения производной.

f(x, h) = y' (1;0.1) = [y(1.1) - y(1.0)]/0.1 = (1.331 - 1.0)/0.1 = 3.31

f(x, h) = y'(1;0.1) = [y(1.0) - y(0.9)]/0.1 = (1-0.729)/0.1 = 2.71

f(x, 2h) = y'(1;0.2) = [y(1.1) - y(0.9)]/0.1 = (1.331 - 0.729)/0.2 = 3.01

Точное значение производной y' (1) = 3× 1.0² = 3 (конечно-разностный метод имеет первый порядок точности). Как видно на примере, наименьшую погрешность дает формула центральной разности (абсолютная погрешность 0.01; относительная погрешность 0.33%).

Производную можно вычислять численно через значения функции, если использовать интерполяционный полином Лагранжа. Для трех узлов табличной функции с постоянным шагом производная от интерполяционного полинома Лагранжа имеет следующий вид:

Для вычисления производной в точке x₀ в общую формулу подставим x = x₀, и раскроем скобки.

Если провести вычисления и привести подобные, то можно получить выражение для вычисления производной по трем значениям табличной функции

По аналогии для x = x₁

и для x = x₂. Видно, что это центральная разность.

Пример 2.

Вычислить производную для той же табличной функции в точке х = 0.9 по формуле Лагранжа. Выделим три значения функции: y₀ = 0.729; y₁ =1.0; y₂ = 1.331.

y' (0.9;0.1) =1/0.2(-3×0.729+4×1.0 - 1.331)= 2.41. Точное значение производной 3×0.9²= 2.43, что значительно точнее, чем через первые разности.

Можно взять и другие точки: y₀ =0.343; y₁ =0.512; y₂ = 0.729.

Тогда производную надо вычислять по другой формуле y' (0.9;0.1) =1/0.2(0.343 -4×0.512 + 3×0.729)= 2.41.

Тот же результат.

Смысл там, где змеи интеграла

Меж цифр и букв, меж d и f!

Валерий Брюсов (1873-1924)

§ 2.2.2.Методы численного интегрирования

Численная реализация оператора интегрирования осуществляется при вычислении определенного интеграла на интервале [x₀,x_n]. Суть метода заключается в замене площади подынтегральной функции интегральными суммами.

Геометрическое представление определенного интеграла

x₁ – x₀ = h называют шагом интегрирования.

Существует много методов численного интегрирования. Их различие заключается в той или иной аппроксимации (представления) функции на шаге интегрирования. Если считать, что на отрезке [a b] f(x) = const (аппроксимация по одной точке), то суммироваться будут площади S_i прямоугольников. Причем постоянное значение функции можно брать на левом конце интервала (точка a), на правом конце интервала (точка b) или в середине каждого интервала [0.5(a+b)]. Это три вида метода прямоугольников:

(формула левых прямоугольников)

(формула правых прямоугольников)

(формула центральных прямоугольников), где

x_i-1/2 = 0.5(x_i-1 + x_i) = xi-1 + h / 2, i = 1, 2, 3,..., n

Если на отрезке x₀, x_i, f(x) аппроксимировать линейной функцией y = a + bx, (по двум точкам), то суммировать надо площади трапеции.

Площадь каждой трапеции на отрезке x_i-1,x_i

S_i= 0.5(y_i-1 + y_i)h_i, i = 1, 2, 3,..., n

при h_i = const

Это формула (или метод численного интегрирования) трапеций.

Если аппроксимировать функцию по трем точкам: f(x) = a + bx + cx², то получают формулу Симпсона.

причем n должно быть четным (число ординат нечетным).

Существует еще несколько методов численного интегрирования в зависимости от метода аппроксимации f(x) подробно описанных в рекомендованной литературе.

Пример 2. Вычислить значение определенного интеграла функции S.

Сформируем табличную функцию для n=8.

Таблица 3

Δx = h = 0.24

Метод левых прямоугольников:

S1 = 0.24*(0.46065+ 0.51845+ 0.58383+ 0.65588+ 0.73381+ 0.81691 0.90458+ 0.99627) = 1.3609

Интеграл с недостатком.

Метод правых прямоугольников:

S2 = 0.24*(0.51845+0.58383+0.65588+0.73381+0.81691+0.90458+0.99627+1.09153) = 1.5363

Интеграл с избытком.

Метод центральных прямоугольников

S_ср = (S1 + S2)/2 = (1.5363+1.3609)/2 = 1.4486