Решение однородных систем линейных уравнений

Мы рассматривали задание подпространств в L в виде линейных оболочек систем векторов. Рассмотрим второй способ задания подпространств. Пусть е = {e₁,…,е_n} – базис пространства L, a ₁ ,…,a _п фиксированные элементы из P.

Утверждение. Подмножество

L₁ = {x = x₁e₁+…+ x_nе_n Î L |a ₁ x ₁ +…+a _n x _n = 0} является

подпространством в L.

Доказательство. I. Пусть x = x₁e₁+…+ x_nе_n, у = у₁e₁+…+ + у_nе_n Î L₁ Þ a₁x₁ +…+a_nx_n = 0, a₁у₁ +…+a_nу_n = 0 Þ

a₁(x₁+у₁)+…+a_n(x_п+у_п)=0, a₁ax₁+…+a_nax_n=0 Þ х+у, axÎL₁.

II. 2. Очевидно, 0_L= 0e₁+…+ 0е_nÎ L₁, так как a₁0 +…+a_n0= 0.

ÿ

Упражнение. Доказать, что не является подпространством в L подмножество {x= x₁e₁+…+x_nе_nÎL |a₁x₁+…+a_nx_n=1}.

Пусть L_i={x=x₁e₁+…+x_nе_nÎL|a_i1x₁+…+a_inx_n=0}, i =1,…,m. Тогда подпространство ∩L_i задается однородной системой линейных уравнений

. (7.1)

Это второй способ задания подпространств в L.

Пусть L= Pⁿ. Тогда множество решений системы (7.1) является подпространством в P ^п. Найдем базис и размерность этого подпространства. С помощью элементарных преобразований приведем систему (7.1) к ступенчатому виду. Для простоты будем считать, что x₁,…, x_r – главные неизвестные, а x_r+1,…, x_т – свободные неизвестные, то есть матрица системы имеет следующий ступенчатый вид:

. (7.2)

Будем придавать набору (п – r) свободных неизвестных значения (1,0,0,...,0,0), (0,1,0,…,0,0),…,(0,0,0,…,1,0), (0,0,0,…,0,1). После этого главные неизвестные находятся однозначно, и мы получим набор из (п – r) частных решений однородной

СЛУ f₁ = (*,*,…,*,1,0,0,...,0,0), f₂ = (*,*,…,*,0,1,0,...,0,0),…, f_n-r= (*,*,…,*,0,0,...,0,0,1), где звездочкой * обозначены какие-то значения главных неизвестных. Покажем, что f₁, f₂ ,…,f_n-r - базис в пространстве решений СЛУ (7.1). Во-первых, строки f₁, f₂,…,f_n-r – линейно независимы. Это доказывается так же, как линейная независимость строк матрицы из 7.4. Во-вторых, любое решение СЛУ (7.1) является линейной комбинацией решений f₁, f₂ ,…, f_n-r. В самом деле, если решение системы f = (с₁,…,с_r+1,..., с_n), то линейная комбинация решений f₀ = f - с_r+1 f₁ -... - с_n f_n-r принадлежит пространству решений, причем f₀ = (*,…,*,0,…,0), то есть у f₀ все свободные неизвестные равны нулю. Тогда, решая СЛУ (7.2), получим, что все главные неизвестные у f₀ также равны нулю, то есть f₀ = 0, f - с_r+1 f₁ -...- с_n f_n-r = 0 Þ f = с_r+1 f₁ +...+с_n f_n-r. Таким образом, f₁, f₂ ,…,f_n-r - базис в пространстве решений СЛУ (7.1), и размерность пространства решений равна (п – r).

Определение. Базис в пространстве решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений (сокращенно ФСР).

Так как базисы в пространствах выбираются неоднозначно, то и ФСР выбираются неоднозначно. Мы показали, что

f₁, f₂ ,…,f_n-r – ФСР для СЛУ (7.1). Любое линейно независимое семейство из (п – r) решений также является фундаментальной системой решений.

Лекция 16.