Упражнения. 1. Проверить, что эти множества являются линейными пространствами

1. Проверить, что эти множества являются линейными пространствами.

2. Доказать, что в линейном пространстве L a× 0_L=0_L "aÎ P,

0 _P ×a = 0_L, (-1)a = - a "aÎL.

Утверждение. Множество L = Р ⁿ ={(a ₁ ,…,a _n )| все a _i Î P } является линейным пространством над полем Р.

Доказательство. I. Пусть по определению для элементов из Р ⁿ (a ₁ ,…,a _n )+ (b ₁ ,…,b _n )= (a ₁ +b ₁ ,…,a _n +b _n ),

a×(a ₁ ,…,a _n )= (a×a ₁ ,…, a×a _n ).

II. 1. Из ассоциативности сложения в P следует, что

((a ₁ ,…,a _n )+(b ₁ ,…,b _n ))+(g ₁ ,…,g _n )=((a ₁ +b ₁ )+g ₁ ,…,(a _n +b _n )+ +g _n )= (a ₁ +(b ₁ +g ₁ ),…,a _n +(b _n +g _n )) =(a ₁ ,…,a _n )+((b ₁ ,…,b _n ) + +(g ₁ ,…,g _n )).

2. Очевидно, (a ₁ ,…,a _n )+(0,…,0)= (0,…,0) + (a ₁ ,…,a _n ) =

= (a ₁ ,…,a _n ) "(a ₁ ,…,a _n )Î Р ⁿ. То есть (0,…,0)= - в Р ⁿ существует нейтрал по сложению.

3. Очевидно, (a ₁ ,…,a _n )+ (-a ₁ ,…,-a _n )= (0,…,0), то есть в Р ⁿ

" (a ₁ ,…,a _n ) существует противоположный элемент.

Упражнение. Доказатьсвойства 4 – 8 из определения линейного пространства.

Определения.

1. Пусть элементы a ₁ ,…,a _k Î L, a ₁ ,…,a _k Î Р. Выражение a ₁ ×a ₁ +…+a _k ×a _k называется линейной комбинацией элементов a ₁ ,…,a _k.

2. Говорят, что элементы a ₁ ,…,a _k Î L линейно зависимы, если существуют a ₁ ,…,a _k Î Р, не все равные нулю, такие, что a ₁ ×a ₁ +…+a _k ×a _k = 0 _L. Соответственно, элементы a ₁ ,…,a _k Î L линейно независимы тогда и только тогда, когда из равенства a ₁ ×a ₁ +…+a _k ×a _k = 0 _L следует, что все a _i = 0.

3. Говорят, что размерность линейного пространства L равна

п, если в L существуют п линейно независимых векторов, а

любые п+1 векторов линейно зависимы. Размерность линейного пространства L будем обозначать dim L.

4. Говорят, что размерность линейного пространства L бесконечна, если в L "п существуют п линейно независимых векторов.

5. Если dim L = п, то любые п линейно независимых векторов в L будем называть базисом линейного пространства L.

Далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать лишь конечномерные линейные пространства.