Операции над матрицами, их свойства

Рассмотрим М_т,п(Р) - множество (т,п) -матриц с элементами из поля Р. Определим на М_т,п(Р) структуру линейного пространства.

I. Для А, ВÎ М_т,п(Р), А= (а_i,j)_{i=1,…,m; j=1,…,n}, В= (а_i,j)_{i=1,…,m; j=1,…,n}, пусть А + В = С Î М_т,п(Р), С = (с_i,j)_{i=1,…,m; j=1,…,n}, где

с_i,j= а_i,j+ b_i,j. Так определяется операция сложения матриц. Теперь определим операцию умножения матрицы на элемент поля. Для АÎ М_т,п(Р), А= (а_i,j)_{i=1,…,m; j=1,…,n}, a Î Р пусть

aА = (aа_i,j)_{i=1,…,m; j=1,…,n}.

II. Упражнение. Проверить, что для определенных нами операций выполняются 8 свойств линейного пространства.

Замечание. Выполнение восьми свойств линейного пространства можно не проверять, если записывать элементы матрицы в одну строчку длины тп (как в ЭВМ). Можно себе представить, что такие длинные строчки на листе бумаги не помещаются и их приходится разбивать на куски длины п и записывать в таблицу (матрицу). Но операции для матриц (длинных строчек) определены нами так же, как и ранее для строк из Р^п в 7.1. Отсюда и следует выполнение восьми свойств для этих операций. Следовательно, можно считать доказанным, что множество (т,п) -матриц является линейным пространством размерности тп, и это пространство изоморфно Р ^тп. Как и в 7.2 (см. Теорему 5) естественным базисом в Р ^тп будет семейство матриц E_i,j, i=1,…,m; j=1,…,n, где E_i,j - матрица, у которой (i,j)- й элемент равен 1, а все остальные элементы равны 0.

Теперь рассмотрим М_п(Р) – множество квадратных (п,п) -матриц. Как мы только что видели, М_п(Р) – линейное пространство размерности п². Покажем, что М_п(Р) является также АУ -кольцом.

I. Операции сложения и умножения матриц у нас уже определены.

II. Первые 4 свойства из определения кольца (для операции сложения) такие же, как и для линейного пространства, и выполняются в общем случае для прямоугольных (а не только квадратных) матриц. Свойства 5, 6, 9 из определения кольца также выполняются (см. упражнение 1 из 8.4).

Упражнение. Доказать, что " А, ВÎ М_п(Р), "a Î Р выполняется свойство (aА)В = А(aВ) = a(АВ).

Определение. Множество А называется алгеброй над полем Р, если А является кольцом и линейным пространством над Р, и, кроме того, выполняется свойство (aа)b = a(ab) = = a(ab) " a, bÎ A, "a Î Р.

Подводя итог в 9.1, можно сказать, что нами доказана

Теорема. Множество квадратных матриц М_п(Р) является алгеброй над полем Р.