Спряжені елементи

u Нехай . Елементи називаються спряженими з відносно поля .

Спряжені з відносно елементи будуть різними тоді і тільки тоді, коли степінь мінімального полінома елемента дорівнює . Якщо ж степінь мінімального полінома дорівнює d (), то різних спряжених елементів буде рівно d: , а далі вони повторюватимуться: , …, і таких повторень буде m/d.

ТЕОРЕМА 34. Елементи, спряжені з відносно довільного підполя, мають однаковий порядок у мультиплікативній групі .

4Достатньо довести, що однаковий порядок мають элемент a та a^q. Відомо, що в циклічній групі < a > (з твірним ) порядку порядок элемента а^d дорівнює . (Дійсно, нехай , , d=d₁s, причому Розглянемо послідовність ; вперше при kd кратному m, але в силу взаємної простоти і це вперше станеться при : . Таким чином, элемент a^d породжує циклічну підгрупу порядку = .) Нехай порядок элемента a в дорівнює . Тоді порядок циклічної підгрупи < α > також дорівнює m і за теор. Лагранжа . Элемент a^q породжує в < α > підгрупу порядку . Але так як (, то і (m,q) = 1; отже, порядок , а таким чином і порядок a^q, дорівнює m, що і треба було довести.3

Наслідки теореми 34.

1) Елементи, спряжені з примітивним, також є примітивними.

2) Нехай , – незвідний поліном. Тоді всі його корені мають однаковий порядок у мультиплікативній групі .