Приклад. Кількість нормованих незвідних поліномів степеня 6 над дорівнює

Кількість нормованих незвідних поліномів степеня 6 над дорівнює

ТЕОРЕМА 33. Якщо – незвідний поліном степеня m, то містить всі його корені і ними є m різних елементів a, , ,…, поля .

4Нехай – довільний корінь у полі розкладу над . Так як – незвідний, то він з точністю до нормування співпадає з мінімальним поліномом . Тому і .

Доведемо, що якщо – корінь f, то – теж корінь. Нехай , тоді

.

( = , оскільки ).

Тепер покажемо, що всі корені різні. Від супротивного: нехай . Не зменшуючи загальності, припустимо, що Піднесемо обидві частини рівності до степеня : , але , отже, є коренем полінома . Таким чином, , а внаслідок теор. 31 це можливо тоді і тільки тоді, коли – суперечність, тому всі корені різні.3

Контрольні питання до §12-15

1. Сформулювати теорему про існування та єдність скінченних полів.

2. Сформулювати критерій підполя.

3. Дати визначення мультиплікативної групи поля, примітивних елементів поля.

4. Дати визначення функції Мебіуса. Як за допомогою цієї функції визначити кількість нормованих незвідних мнонгочленів степеня над ?