Поля розкладу поліномів

u Нехай F – деяке поле, – його розширення. Говорять, що поліном повністю розкладається в полі , якщо його можна представити у вигляді , де , (тобто всі його корені лежать в ).

u Розширення поля F називається полем розкладу полінома , якщо повністю розкладається в і є найменшим полем, що містить F і всі корені , тобто , , .

ТЕОРЕМА 27. Всі поля розкладу полінома ізоморфні, причому ізоморфізм залишає на місці елементи поля F () і деяким чином переставляє корені .

4Поле розкладу полінома будується шляхом послідовного приєднання коренів незвідних поліномів, що є його простими дільниками (див. теор.9). При цьому використовується процедура, описана в доведенні теор.24. З того ж доведення ясно, що елементи при цьому залишаються на місці, а теор.26 гарантує незалежність результату від порядку вибору коренів.3

Контрольні запитання до §11

1. Дати визначення поля розкладу полінома.

2. Сформулювати теорему про канонічний розклад полінома.

3. Сформулювати теорему про існування і єдиність поля розкладу полінома.