Мультиплікативна група скінченного поля

u Множина ненульових елементів скінченного поля з операцією множення, заданою в полі, називається мультиплікативною групою поля і позначається .

З означення поля випливає, що ця група абелева.

ТЕОРЕМА 30. Мультиплікативна група скінченного поля циклічна.

4 Розглянемо скінченне поле . Нехай – розклад числа на прості множники. Поліном в має не більше, ніж коренів (теор.12). Так як , то у існує элемент, що не є коренем полінома . Позначимо його через a_i: . Розглянемо элемент : порядок элемента b_i ділить . Покажемо, що ord(b_i) = , . З попереднього випливає, що ord(b_i) = . Але . Доведемо, що элемент є твірним для циклічної групи , тобто має порядок Нехай це не так. Тоді ord(b) ord(b) ділить принаймні одне из чисел , наприклад, . Тоді 1 = . При , тобто ord(b₁) , але це неможливо, так як ord(b₁) = .

Отже, b – твірний елемент циклічної групи .3

u Твірні елементи мультиплікативної групи поля називаються примітивними елементами поля.