Примітивні поліноми

u Поліном , називається примітивним, якщо він є мінімальним поліномом деякого примітивного елемента над F_q.

ТЕОРЕМА 41. Поліном , , є примітивним над тоді і тільки тоді, коли f – нормований, і .

4 Позначимо .

Якщо f примітивний, то він є мінімальним поліномом деякого примітивного елемента. Отже, f нормований, незвідний, , а його корені мають порядок . Таким чином, за теор. 36 і .

Навпаки: . Доведемо, що – незвідний. Від супротивного: нехай – звідний. Тоді або 1) , де – незвідний, натуральне, або 2) , де У випадку 1) має ділитися на (теор.38), але , а – протиріччя. У випадку 2) за теор. 39 – знову ж таки протиріччя з умовою. Таким чином, – незвідний і за насл. з теор.34 всі його корені – примітивні. Отже, – примітивний. 3

Зауважимо, що умова потрібна лише, щоб виключити випадок .

Теорема 41 дає ще одне визначення примітивного полінома:

u Нормований незвідний поліном над , , називається примітивним, якщо .

ТЕОРЕМА 42. Кількість примітивних поліномів степеня над дорівнює , де - функція Ейлера.

4Примітивні поліноми незвідні. Тому всі корені примітивних поліномів степеня лежать у (теор.33). За наслідком 1 теор.30 кількість примітивних елементів поля дорівнює . Оскільки кожен примітивний поліном степеня має рівно коренів і всі вони різні (теор.33) і примітивні (наслідки 1,2 теор.34), то кількість примітивних поліномів дорівнює . 3

Контролні питання до §16-19

1. Дати визначення спряжених елементів.

2. Назвіть способи зображення елементів скінченого поля.

3. Дати визначення порядку полінома. Сформулювати теореми, що дозволяють визначити порядок поліномів над скінченним полем.

4. Дати визначення примітивного поліному, незвідного поліному.

Скільки існує примітивних поліномів степеня п над заданим скінченим полем?