Мінімальні поліноми

Нехай – алгебраїчний над F елемент розширення , причому . Нескладно показати, що множина є ідеалом кільця , причому , так як – алгебраїчний елемент. Оскільки – кільце головних ідеалів, то , де g – нормований поліном над F найменшого степеня серед ненульових поліномів, що належать J. Доведемо незвідність g. Оскільки , то ,таким чином, .Припустимо, що поліном g – звідний. Тоді ; або або . Так як , то це входить у протиріччя з мінімальністю степеня у .

u Поліном g, що породжує ідеал називається мінімальним поліномом елемента q.

Вище був розглянутий випадок . Для мінімальним буде поліном .

Отже, кожний алгебраїчний елемент розширення має мінімальний поліном над F.

u Степінь мінімального полінома елемента q називається степенем цього елемента.

Вищенаведені міркування повністю доводять наступну теорему.

ТЕОРЕМА 22. Нехай – розширення поля F, елемент – алгебраїчний над F. Тоді q має мінімальний поліном , причому:

1) g – незвідний поліном;

2) ;

3) g є нормованим поліномом мінімального степеня, для якого q є коренем.

ТЕОРЕМА 23. Нехай – розширення поля F, елемент – алгебраїчний над F, g – мінімальний поліном для q, . Тоді:

1) ;

2) – лінійний векторний простір над F розмірності n, і – його базис;

3) будь-який елемент є алгебраїчним над F, причому степінь ділить n.

41) Розглянемо відображення , визначене як

.

Тоді . Очевидно, що t – гомоморфізм. За теоремою про гомоморфізм кілець . , тобто . Залишилося довести, що . Оскільки незвідний, то - поле, отже і - поле. q входить в S, оскільки . Але оскільки F і q входять в S, а F( ) – мінімальне поле, що містить F і q, то .

2) Доведемо, що . Маємо: , , але за умовою, тому, де завжди можна представити у вигляді . Залишилося показати, що – лінійно незалежна система: Þ Þ , але , а - поліном найменшого степеня в . Отже, залишається лише одна можливість: , тобто .

3) Оскільки F(θ) – скінченне розширення (доведено в п.2), то воно алгебраїчне (див. теор.21). Отже, будь-який його елемент алгебраїчний над F (за означенням), тобто – алгебраїчний над F. За теор.20 Þ .3

› Надалі, якщо не обумовлене протилежне, розглядатимемо тільки скінченні поля.