Приклад. Уявна одиниця i Cє алгебраїчним над R елементом, оскільки є коренем полінома х2+1 R [x]

Уявна одиниця i Cє алгебраїчним над R елементом, оскільки є коренем полінома х² +1 R [ x ]. Цей корінь не лежить в R, але лежить в його розширенні C.

u Розширення поля F називається алгебраїчним над F, якщо всі його елементи – алгебраїчні над F.

ТЕОРЕМА 21. Кожне скінченне розширення поля F є алгебраїчним над F.

4Нехай , θ – довільний елемент . Система елементів 1, θ, , як і кожна система з n+1 елемента, повинна бути лінійно залежною. За визначенням лінійної залежності існує ненульовий набір коефіцієнтів таких, що . А це і означає, що q є коренем деякого полінома над F. 3

Контрольні питання до §7,8

1. Дати визначення розширення поля, підполя.

2. Дати визначення алгебраїчного розширення поля,

3. Сформулювати теорему про кількість елементів поля.

4. Сформулювати теорему про башту розширень.

5. Як пов’язані скінченність розширення та його алгебраїчність?