Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода

Определим теперь что дает диверсификация для уменьшения риска и выявим условия, когда эта цель достигается. В качестве объекта анализа примем некоторый абстрактный портфель цен­ных бумаг (далее для краткости — портфель). Такой выбор объ­ясняется методологическими преимуществами — в этом случае проще выявить зависимости между основными переменными. Однако многие из полученных результатов без большой натяж­ки можно распространить и на производственные инвестиции.

В предыдущем параграфе отмечалось, что в качестве измери­теля риска в долгосрочных финансовых операциях широко рас­пространена такая мера, как дисперсия дохода во времени. Ди­версификация портфеля при правильном ее применении при­водит к уменьшению этой дисперсии при всех прочих равных условиях. Диверсификация базируется на простой гипотезе. Ес­ли каждая компонента портфеля (в рассматриваемой задаче — вид ценной бумаги) характеризуется некоторой дисперсией до­хода, то доход от портфеля имеет дисперсию, определяемую его составом. Таким образом, изменяя состав портфеля, можно ме­нять суммарную дисперсию дохода, а в некоторых случаях свести ее к минимуму.

A = 2a.d_i9 (8.1)

где a_i — количество бумаг вида /.

Если d_i представляет собой средний доход от бумаги вида /, то величина А характеризует средний доход от портфеля бумаг в целом.

Для начала положим, что показатели доходов различных ви­дов бумаг являются статистически независимыми величинами (иначе говоря, не коррелируют между собой). Дисперсия дохо­да портфеля (обозначим ее как D) в этом случае находится как

Я-£*?А. (8.2)

/-1

где D. — дисперсия дохода от бумаги вида /, п — количество видов ценных бумаг.

Для упрощения, которое нисколько не повлияет на резуль­таты дальнейших рассуждений, перейдем от абсолютного из­мерения количества ценных бумаг к относительному. Пусть теперь а. характеризует долю в портфеле бумаги вида /, т.е. О < а. < 1, 21а. = 1.

Для зависимых в статистическом смысле показателей дохода отдельных бумаг дисперсию суммарного дохода находим следу­ющим образом:

^D " % ^at^{Di + 2} 2 ^ai^aJ^rU°i°J>

(8.3)

где D_f — дисперсия дохода от бумаги вида /, r_fJ — коэффициент корреляции дохода от бумаг вида / и у, а_у ис^.- среднее квад-ратическое отклонение дохода у бумаг вида / и у.

Коэффициент корреляции двух случайных переменных х и у, как известно, определяется по формуле¹

^г*у =

%(х-х)(у- у)

па_хо_у

(8.4)

где х, у — средние (в нашем случае средние доходы двух видов бумаг).

Для расчетов часто применяется следующая рабочая формула:

^пУ*у- У*Уу

'ху

2*ЧХ*Пк>Ч5>)

Поскольку коэффициент корреляции может быть как поло­жительной, так и отрицательной величиной, то, как это выте­кает из (8.3), при положительной корреляции дисперсия суммарно-

го дохода увеличивается, при отрицательной она сокращается. В самом деле, при заметной отрицательной корреляции положи­тельные отклонения от среднего дохода одних бумаг погашают­ся отрицательными отклонениями у других. И наоборот, при положительной корреляции отклонения суммируются, что уве­личивает общую дисперсию и риск.

Проследим теперь, каково влияние масштаба диверсифика­ции на размер риска. Под масштабом диверсификации здесь бу­дем понимать количество объектов, выбранных для инвестиции (количество видов ценных бумаг). Обратимся к условному при­меру, который позволяет наиболее отчетливо выделить влияние указанного фактора. Итак, пусть портфель состоит из бумаг различного вида, но имеющих одинаковую дисперсию дохода (о^). Удельные веса в портфеле каждого вида бумаг также оди­наковы, а общая сумма вложений равна 1. Положим, что пока­затели доходности у отдельных видов бумаг статистически не­зависимы, т.е. применима формула (8.2). В этих условиях для оценки величины среднего квадратического отклонения дохода портфеля получим

п °'

где п — количество видов ценных бумаг.

Воспользуемся приведенной формулой и определим диспер­сию дохода для портфеля, состоящего из двух и трех видов бу­маг. Так, для двух бумаг имеем

^D - 2°о ^{и а}"^2°° "°'^71а°-

Для трех видов бумаг квадратическое отклонение портфеля составит 0,58а₀. Таким образом, с увеличением числа составляю­щих портфеля риск уменьшается даже при одинаковой диспер­сии составляющих элементов. Однако прирост действенности диверсификации уменьшается. Соответствующая зависимость изображена на рис. 8.2.

Как видим, наибольшее влияние увеличение масштабов ди­версификации оказывает на начальных стадиях, т.е. при малых значениях я. Например, в рамках рассмотренного примера пе­реход от одного вида бумаг к четырем сокращает квадратиче­ское отклонение на 50%, а от одного к восьми — на 65%.

Рис. 8.2

Полученные выше выводы в отношении тенденции измене­ния среднего квадратического отклонения в зависимости от числа составляющих при условии, когда дисперсии составляю­щих одинаковы, очевидно, справедливы и для более общих слу­чаев. Однако, зависимость этих параметров от степени диверси­фикации проявляется здесь не столь четко.

Посмотрим теперь, как изменяются доход и величина риска при изменении структуры портфеля. Для этого вернемся к фор­мулам (8.2) и (8.3) и запишем их только для двух видов бумаг (X и Y). Такой анализ вряд ли имеет практическое значение. Однако с его помощью наглядно демонстрируются последствия "смешения" ценных бумаг с различными доходностью и дис­персией. Для независимых доходов получим

D = a²D ' + a²D_v, (8.5)