Математическое приложение к главе. Доказательство формулы (7.12)

Доказательство формулы (7.12)

Найдем барьерную точку выпуска для условия, согласно ко­торому современная стоимость доходов равна современной сто­имости затрат. При расчете современных стоимостей полагаем, что выпуск и реализация продукции равномерно распределены в пределах года. В связи с этим без заметной потери точности в расчетах отнесем эти величины к серединам соответствующих лет. В терминах финансовой математики соответствующие по­токи представляют собой постоянные годовые ренты с платежа­ми в середине периодов (см. § 6.3). Пусть PV— оператор опре­деления современной стоимости соответствующего потока пла­тежей. Современная стоимость потока переменных и постоян­ных затрат, в которые включены и амортизационные начисле­ния, в этом случае составит:

PV(f+ d+ cQ) = (/•+ d + cQ)v⁰⁵ +... +

(1) + (/> d + cQ)v^⁵ = (/•+ d + cQ)a_n;i (1 + /)4

где а_пЛ — коэффициент приведения постоянной ренты, v — дисконтный множитель.

В свою очередь современная стоимость поступлений нахо­дится как

PV(pQ) = pQv⁰*⁵ + pQv¹⁵ +... + pQv"-^ =

(2)

⁼ />e%(i + o⁰'⁵.

Из равенства

(/•+ d + cQ_k)a_n;i (1 + if* = _PQ_ka_n;i(\ + О⁰'⁵ следует искомая формула

* /? — с

Глава 8 РИСК И ДИВЕРСИФИКАЦИЯ

Риск

В финансовом анализе производственных инвестиций мы неизбежно сталкиваемся с неопределенностью, неоднозначно­стью показателей затрат и отдачи. В связи с этим возникает проблема измерения риска и его влияния на результаты инве­стиций. Поскольку вопросы, связанные с измерением риска в экономической деятельности, рассмотрены в отечественной ли­тературе явно недостаточно, остановимся на них более подроб­но, чем, возможно, это необходимо для раскрытия основной те­мы данной работы.

Широко распространенный термин "риск", как известно, понимается неоднозначно. Его содержание определяется той конкретной задачей, где этот термин используется. Достаточно просто перечислить такие понятия как кредитный, валютный, инвестиционный, политический, технологический риски, риск ликвидности активов и т.д. Отметим, что даже самое общее оп­ределение этого понятия не оставалось неизменным во време­ни. Говоря о первом в экономике научном определении риска, обычно ссылаются на Ф. Найта (1921), который предложил раз­личать риск и неопределенность. Риск имеет место тогда, когда некоторое действие может привести к нескольким взаимоис­ключающим исходам с известным распределением их вероятно­стей. Если же такое распределение неизвестно, то соответству­ющая ситуация рассматривается как неопределенность. Как нам представляется, здесь речь идет, скорее, не об определении риска, а лишь о наличии информации, характеризующей риск.

В экономической практике, особенно финансовой, обычно не делают различия между риском и неопределенностью. Чаще всего под риском понимают некоторую возможную потерю, вы­званную наступлением случайных неблагоприятных событий. В некоторых областях экономической деятельности сложились

устойчивые традиции понимания и измерения риска. Наиболь­шее внимание к измерению риска проявлено в страховании. Объяснять причину такого внимания нет необходимости. Изме­ритель риска, как возможная потеря страховщика, был исполь­зован еще в конце XVIII в. В других направлениях финансовой деятельности под риском также понимается некоторая потеря. Она может быть объективной, т.е. определяться внешними воз­действиями на ход и результаты деятельности хозяйствующего субъекта. Так, например, потеря покупательной способности денег (инфляционный риск) не зависит от воли и действий их владельца. Однако, часто риск, как возможная потеря, может быть связан с выбором того или иного решения, той или иной линии поведения. Заметим также, что в некоторых областях де­ятельности риск понимается как вероятность наступления не­которого неблагоприятного события. Чем выше эта вероят­ность, тем больше риск. Такое понимание риска оправданно в тех случаях, когда событие может наступить или не наступить (банкротство, крушение и т.д.).

Когда невозможны непосредственные измерения размеров потерь или их вероятностей, риск можно квантифицировать с помощью ранжирования соответствующих объектов, процессов или явлений в отношении возможного ущерба, потерь и т.д. Ранжирование обычно основывается на экспертных суждениях.

Естественной реакцией на наличие риска в финансовой де­ятельности является стремление компенсировать его с помо­щью так называемых рисковых премий (risk premium), которые представляют собой различного рода надбавки (к цене, уровню процентной ставки, тарифу и т.д.), выступающие в виде "платы за риск". Второй путь ослабления влияния риска заключается в управлении риском. Последнее осуществляется на основе различ­ных приемов, например, с помощью заключения форвардных контрактов, покупки валютных или процентных опционов и т.д.

Одним из приемов сокращения риска, применяемым в инве­стиционных решениях, является диверсификация, под которой понимается распределение общей инвестиционной суммы меж­ду несколькими объектами. Диверсификация — общепринятое средство сокращения любого вида риска. С увеличением числа элементов набора (портфеля) уменьшается общий размер рис­ка. Однако только в случае, когда риск может быть измерен и представлен в виде статистического показателя, управление ри­ском получает надежное основание, а последствия диверсифи-

кации поддаются анализу с привлечением методов математиче­ской статистики.

В инвестиционном анализе и страховом деле риск часто из­меряется с помощью таких стандартных статистических харак­теристик, как дисперсия и среднее квадратическое (стандартное) отклонение. Обе характеристики измеряют колебания, в данном случае — колебания дохода. Чем они больше, тем выше рассе­яние показателей дохода вокруг средней и, следовательно, сте­пень риска.

Напомним, что между дисперсией (D) и средним квадрати-ческим отклонением (а) существует следующее соотношение:

а» V/>.

В свою очередь дисперсия относительно выборочной сред­ней (х) находится как

п - 1

где п — количество наблюдений, х — средняя случайной пере­менной х.

Как известно, среднее квадратическое отклонение имеет то неоспоримое достоинство, что при близости наблюдаемого рас­пределения (например, распределении дохода от инвестиций) к нормальному, что, строго говоря, должно быть статистически проверено, этот параметр может быть использован для опреде­ления границ, в которых с заданной вероятностью следует ожи­дать значение случайной переменной. Так, например, с вероят­ностью 68% можно утверждать, что значение случайной пере­менной х (в нашем случае доход) находится в границах х ± a, a с вероятностью 95% — в пределах х ± 2а и т.д. Сказанное ил­люстрируется на рис. 8.1