Если дисконтирование производится по сложной ставке, то критическую ставку найдем из равенства

$(1 + 4,)""'-s₂(u/bP.

В итоге

/о=^я-^яе-1. (4.32)

Консолидирование (объединение) задолженности. Как уже бы­ло сказано выше, принцип финансовой эквивалентности плате­жей применяется при различных изменениях условий выплат денежных сумм: их объединении, изменении сроков (досроч­ном погашении задолженности или, наоборот, пролонгирова­нии срока) и т.п. Общий метод решения подобного рода задач заключается в разработке так называемого уравнения эквива­лентности (equation of value), в котором сумма заменяемых пла­тежей, приведенных к какому-либо моменту времени, прирав­нивается к сумме платежей по новому обязательству, приведен­ных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется обычно на основе простых ставок, для средне-и долгосрочных — с помощью сложных процентных ставок. За­метим, что в простых случаях часто можно обойтись без разра­ботки и решения уравнения эквивалентности.

Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация (объединение) платежей. Пусть платежи S_v £₂,..., S_m со сроками л,, я₂,—, п_т заменяются одним в сумме S₀ и сроком л₀. В этом случае возможны две по­становки задачи: если задается срок л₀, то находится сумма S₀ и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа S₀, то определяется срок л₀. Рассмотрим обе постановки задачи.

Определение размера консолидированного платежа. При реше­нии этой задачи уравнение эквивалентности имеет простой вид. В общем случае, когда л,<л₂<...<л_т, искомую величину находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей. Так, при применении простых процентных ставок получим

S₀ = XSj(\ + tjl) + 2^(1 + t_ki)~\ (4.33)

j *•

где Sj — размеры объединяемых платежей со сроками л_у. < л₀, S_k — размеры платежей со сроками п_к > л₀,

/_у= До-Лу, t_k = п_к- п₀.

So-2^sj(^l*ⁱf*2M^{l + l})~^k- ⁽⁴-³⁴⁾

ПРИМЕР 4.11. Платежи в 1 и 2 млн руб. и сроками уплаты через 2 и 3 года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консоли­дации используется сложная ставка 20%. Искомая сумма составит

S₀ = 1000 х 1,2⁰-⁵ + 2000 х 1,2-°-⁵ = 2921,187 тыс. руб.

Определение срока консолидированного платежа. Если при объ­единении платежей задана величина консолидированного плате­жа S₀, то возникает проблема определения его срока л₀. В этом случае уравнение эквивалентности удобно представить в виде ра­венства современных стоимостей соответствующих платежей.

При применении простой ставки это равенство имеет вид

SoO+vr¹ =25_у(1+_Лу#г^!,

откуда

*

я₀ = - h=----------- -------------- 1. (4.35)

Очевидно, что решение может быть получено при условии, что S₀ > 2^.(1 + /ly/)"¹, иначе говоря, размер заменяющего пла­тежа не может быть меньше суммы современных стоимостей заменяемых платежей. Заметим также, что искомый срок про­порционален величине консолидированного платежа.

ПРИМЕР 4.12. Суммы в размере 10, 20 и 15 млн руб. должны быть выплачены через 50, 80 и 150 дней соответственно. Сторо­ны согласились заменить их одним платежом.

Современная стоимость заменяемых платежей (обозначим эту величину через Р) при условии, что / = 10% и К = 365, составит

Р = Ю(1 + Л- 0,1)"¹ + 20(1 + -Ц- 0,1)"¹ + 15(1 + ~|| 0,1)-' =

43,844 млн руб. Согласно (4.35) находим

п₀ = ~qV 43^44 " Ч ^{= 1,4}°^{4 Г0Да}' ^{ИЛИ 512 ДНвЙ}*

Продолжим пример. Пусть теперь размер заменяющего плате­жа задан в сумме 45 млн руб. Тогда срок заметно сократится и станет равным 0,264 года, или 96 дням.

Перейдем к определению срока консолидированного плате­жа на основе сложных процентных ставок. Уравнение эквива­лентности запишем следующим образом

*(|+'П-2 */(!♦')'■'•