Задачі для самостійного розв’язку

Задача 1. Дано два абсолютно чорних джерела теплового випромінювання. Температура одного з них = 2500 К. Знайти температуру другого джерела, якщо довжина хвилі, яка відповідає максимуму його випромінюючої здатності, на
= 0,50 мкм більше довжини хвилі, що відповідає максимуму випромінюючої здатності першого джерела.

Задача 2. Енергетична світність абсолютно чорного тіла рівна 3,0 Вт/см². Визначити довжину хвилі, яка відповідає максимуму випромінюючої здатності цього тіла.

Задача 3. Випромінювання Сонця за своїм спектральним складом близьке до випромінювання абсолютно чорного тіла, для якого максимум випромінюючої здатності приходиться на довжину хвилі 0,48 мкм. Знайти масу, яку втрачає Сонце протягом 1 сек за рахунок випромінювання. Оцінити час, протягом якого маса Сонця зменшується на 1%.

Задача 4. Є дві порожнини (рис.1) з малими отворами однакових діаметрів d=1,0 см, зовнішні поверхні яких мають коефіцієнт відбивання рівний 1. Відстань між отворами l=10 см. В порожнині 1 підтримується постійна температура =1700 К. Розрахувати температуру, яка встановиться в порожнині 2.

Рис.1

Задача 5. Порожнина об’ємом V=1,0 л заповнена тепловим випромінюванням при температурі Т=1000 К. Знайти:

а) теплоємність ;

б) ентропію S цього випромінювання.

Задача 6. Одержати за допомогою формули Планка наближені вирази для об’ємної спектральної густини випромінювання :

а) в області, де (формула Релея-Джинса);

б) в області, де (формула Віна).

Задача 7. Перетворити формулу Планка для об’ємної спектральної густини випромінювання від змінної до змінних (лінійна частота) і (довжина хвилі).

Задача 8. За допомогою формули Планка знайти густину потоку випромінювання одиниці поверхні абсолютно чорного тіла, яка приходиться на вузький інтервал довжин хвиль поблизу максимуму спектральної густини випромінювання, при температурі тіла Т=3000 К.

Задача 9. На рис.2 показано графік функції , яка характеризує відносну частку загальної потужності теплового випромінювання, котре припадає на спектральний інтервал від 0 до х. Тут ( – довжина хвилі, яка відповідає максимальній спектральній густині випромінювання). Знайти з допомогою цього графіка:

Рис.2

а) довжину хвилі, яка ділить спектр випромінювання на дві енергетично рівні частини при температурі 3700 К;

б) частину загальної потужності випромінювання, яка припадає на видиму частину спектра (),40 – 0,76 мкм) при температурі 5000 К.;

в) в скільки раз збільшиться потужність випромінювання в області довжин хвиль >0,76 мкм при зростанні температури від 3000 до 5000 К.

Задача 10. Знайти за допомогою формули Планка вирази, які визначають число квантів в 1 см³ порожнини при температурі Т в спектральних інтервалах і .

Задача 11. Точкове ізотропне джерело потужністю Вт випромінює світло з . Знайти:

а) середню густину потоку фотонів на відстані м від джерела;

б) відстань від джерела до точки, в якій середня об’ємна густина фотонів .

Задача 12. Короткий імпульс світла з енергією Дж у вигляді вузького майже паралельного пучка падає на дзеркальну пластинку з коефіцієнтом відбивання . Кут падіння . Визначити за допомогою корпускулярної теорії імпульс, який одержала пластинка.

Задача 13. Плоска світова хвиля інтенсивністю І=0,2 Вт/см² падає на плоску дзеркальну поверхню з коефіцієнтом відбивання . Кут падіння . Визначити за допомогою корпускулярної теорії величину нормального тиску, що його здійснює світло на цю поверхню.

Задача 14. Плоска світова хвиля інтенсивністю І=0,70 Вт/см² освітлює кулю з дзеркальною поверхнею радіусом см. Коефіцієнт відбивання рівний одиниці. Знайти за допомогою корпускулярної теорії силу, яка діє на кулю.

Задача 15. Поверхня зірки, маса якої М і радіус R, випромінює фотон з частотою Знайти величину гравітаційного зміщення частоти фотона на дуже великій відстані від зірки.

Задача 16. Потужність випромінювання з поверхні Землі в космос приймається рівною 91 Дж/см² _* сек.

а) яка температура абсолютно чорного тіла, яке має таку саму потужність випромінювання.

(Відповідь: 200 К);

б) який коефіцієнт повного випромінювання тіла, якщо при температурі 15 ^оС воно має таку саму потужність випромінювання.

(Відповідь: 0,23).

Задача 17. Вольфрамова нитка розжарюється у вакуумі струмом 1 А до температури 1000 К. При якому струмі нитка розжариться до 3000 К?. При розрахунку знехтувати втратами енергії внаслідок теплопровідності в тримачах нитки і зворотнім випромінюванням оточуючих тіл.

(Відповідь: 8А).

Задача 18. Вольфрамова нитка діаметром 0,1 мм з’єднана послідовно з іншою вольфрамовою ниткою. Нитки розжарюються в вакуумі струмом, причому перша нитка має температуру 2000 К, а друга – 3000 К. Який діаметр другої нитки?

(Відповідь: 0,063 мм).

Задача 19. Температура волоска електричної лампи, яка живиться змінним струмом, коливається. Різниця між найбільшою і найменшою температурою розжарення вольфрамового волоска електричної лампи (15 Вт, 120 В) при змінному струмі (50 Гц) оцінюється в 80 К. В скільки разів зміниться загальна потужність випромінювання внаслідок коливання температури, якщо середнє її значення рівне 2300 К? Прийняти, що вольфрам випромінює як сіре тіло.

(Відповідь: збільшується в 1,14 раз).

Задача 20. При роботі радіоламп відбувається нагрівання анода внаслідок бомбардування його електронами. Розсіювання енергії здійснюється в основному у вигляді випромінювання, розсіювання за допомогою теплопровідності підводящих конструктивних частин незначне. Визначити допустиму силу анодного струму в лампі, яка працює при напрузі 400 В. Анод зроблений із нікелю; він має форму циліндра довжиною 4 см і довжиною 1 см. Прийняти, що енергія розсіюється тільки із зовнішньої поверхні циліндра і що анод нагрівається до 1000 К. При цій температурі коефіцієнт повного випромінювання нікелю рівний 0,2.

(Відповідь: 36 мА).

Задача 21. Вольфрамова нитка знаходиться у вакуумі. Діаметр нитки 0,1 мм. Нитка розжарена до температури 2500 К.

а) на скільки температура нитки на її осі відрізняється від температури її поверхні, якщо теплопровідність вольфраму при 2500 К рівна 148 Дж/(м_*сек_*град.)?

(Відповідь: 0,11 К);

б) Який струм іде по нитці?

(Відповідь: 1,5 А).

Задача 22. Інтенсивність сонячної радіації поблизу Землі за межами її атмосфери (сонячна стала) рівна Дж/м²_*сек. Приймаючи, що Сонце випромінює як абсолютно чорне тіло, визначити температуру його випромінюючої поверхні.

(Відповідь: 5750 К).

Задача 23. Визначити діаметр сферичної космічної частинки, якщо діючі на неї сили світлового тиску і притягання до Сонця взаємно зрівноважуються. Частинка складається із заліза. Температуру Сонця прийняти рівною Т_Сонця=6000 К.

Відповідь: На частинку діють такі сили:

1) сила притягання до Сонця, яка є рівною

,

де – маса Сонця;

– відстань від частинки до центра Сонячної сфери;

– густина заліза;

2) припустимо, що частинка чорна, тоді силу світлового тиску зі сторони Сонця визначимо за формулою:

, де – радіус Сонця.

При рівновазі сил

,

звідки знаходимо діаметр :

см.

Задача 24 (41–11). Згідно положення про світлові одиниці 1 лм є світловий потік, який випромінює абсолютно чорне тіло з площадки 0,5305 мм² при температурі тверднення платини (2042 К). Яка частина енергії цього випромінювача припадає на видиму ділянку спектра?

(Відповідь: 0,3%).

Задача 25 (41–12). Вольфрамова нитка діаметром 0,1 мм натягнута у вакуумі по осі трубки, довжина якої на багато раз більша її діаметра. Температура трубки підтримується рівною 700 К. По нитці тече струм, внаслідок чого її температура на 300 К більша за температуру трубки. Визначити струм. При розрахунку прийняти, що інтегральний коефіцієнт поглинання вольфрамом зворотного випромінювання трубки рівний коефіцієнту повного випромінювання вольфраму при тій же температурі.

(Відповідь: 0,22 А).

Задача 26 (41–13). Колосникова решітка площею 2 м оточена залізними стінками. Температура вугілля на решітці рівна 1300 К, температура стінок 600 К. Коефіцієнти поглинання вугілля і окисленого заліза можна рахувати рівними 0,9. Розрахувати кількість теплоти, яка передається променями від решітки до стінок за 1 годину.

(Відповідь: 240000 ккал = 1_*10⁹ Дж).

Задача 27 (С.41–14). Промені Сонця збираються за допомогою лінзи, яка має світлосилу на маленький отвір порожнини (ящика), стінки якого всередині чорні, а ззовні блискучі (світлі) (див. мал.3).

Мал.3

Діаметр отвору менше діаметра зображення Сонця. Нехтуючи втратами енергії при проходженні променів Сонця через атмосферу і лінзу, а також кількістю теплоти, яка проходить через стінки ящика, визначити температуру Т всередині ящика. Температуру поверхні Сонця прийняти рівною =6000 К.

(Відповідь: К).

Задача 28 (С.41–15). В середині Сонячної системи на такій самій відстані від Сонця, як і Земля, знаходиться частинка сферичної форми. Приймаємо, що Сонце випромінює як абсолютно чорне тіло з температурою =6000 К і, що температура частинки Т у всіх її точках однакова, визначити її температуру, виходячи із слідуючих припущень:

а) частинка володіє властивостями сірого тіла;

б) частинка поглинає і випромінює промені тільки з довжиною хвилі близько 5000 ;

с) частинка поглинає і випромінює хвилі близько 5 мкм.

Відповідь:

а) Потужність випромінювання Сонця, яка поглинається частинкою рівна:

,

де – діаметр частинки, – радіус поверхні Сонця, А – коефіцієнт поглинання.

Потужність випромінювання частинки по всім напрямкам рівна:

.

При рівновазі

К,

тобто мало відрізняється від середньої температури поверхні Землі (273+15=288 К).

б) Потужність випромінювання Сонця, яка поглинається частинкою, рівна

.

Потужність, яку випромінює частинка, рівна:

.

При рівновазі , маючи на увазі, що і, що , отримаємо:

К (більше, ніж сіре тіло).

в) Т=230 К (менше, ніж сіре тіло).

Задача 29 (С.41–16). Проходячи афелій, Земля знаходиться на 3,3% дальше від Сонця, ніж коли вона проходить перигелій. Приймаючи Землю за сіре тіло з середньою температурою 288 К, визначити різницю температур, які Земля має в афелії і перигелії.

(Відповідь: –4,8 К).

Задача 30 (С.41–17). В електричній лампі вольфрамовий волосок діаметром d=0,05 мм розжарюється при роботі лампи до К. Через який час після виключення струму температура волоска упаде (понизиться) до К? При розрахунку прийняти, що волосок випромінює як сіре тіло з коефіцієнтом поглинання А=0,3. Знехтувати всіма іншими причинами втрати теплоти і зворотним випромінюванням стінок кімнати.

Відповідь:

сек,

де і с – густина і питома теплоємність вольфраму.

Задача 31 (С.41–18). В якому випадку електророзжарювальна лампа дає більше світла – коли вона працює на постійному струмі чи на змінному, ефективна напруга якого рівна напрузі постійного струму?

Відповідь:

У випадку змінного струму температура волоска здійснює малі коливання біля середнього значення :

(при ).

Значення і можуть бути знайдені із рівняння теплового балансу:

,

де С – теплоємність волоска,

– охолодження волоска за рахунок теплопровідності,

– охолодження волоска за рахунок променевої теплопровідності.

– зовнішня температура.

Необхідно також врахувати залежність опору волоска від температури

.

Підставляючи і порівнюючи постійні і пропорційні члени рівняння балансу, знаходимо середнє значення:

.

Коефіцієнт завжди більший нуля, коефіцієнт більший нуля при .

Висновок. Променева теплопередача більша для змінного струму. Ще в більшій мірі це є вірно для світлового потоку при типових значеннях .

Задача 32 (С.41–21). Визначити довжини хвиль, які відповідають максимумам функції розподілу за інтервалами довжин хвиль в наступних випадках:

а) волосок софітної лампи (див. мал.4) має довжину l=15 см і діаметр d=0,03 мм. Споживана потужність Р=10 Вт, з неї біля =2 Вт розсіюється внаслідок теплопровідності. Прийняти, що волосок випромінює як сіре тіло з коефіцієнтом поглинання А=0,3.

Мал.4

б) Дана лампа розміщена в металевому циліндрі з поверхні якого розсіюється вказана вище потужність. Поверхня циліндра рівна 150 см². Прийняти, що втрати на теплопровідність і коефіцієнт поглинання не змінились.

Відповідь:

а) мкм;

б) 6,9 мкм.

Задача 33 (С.41–21). На екрані отримано спектр від додатнього кратера вольтової дуги, який має температуру 4000 К. Визначити відношення х потужностями випромінювання, які падають на ділянки екрана, що відповідають довжинам хвиль від 695 до 705 нм (ділянка червоного кольору) і від 395 до 405 нм (ділянка фіолетового кольору). Прийняти, що кратер випромінює як чорне тіло, а також що поглинання в склі і в повітрі однакове для червоних і фіолетових променів.

Відповідь: Звернувши увагу, що при вказаних умовах , можна виразити шукане співвідношення як .

Задача 34 (С.41–23). В печі довжиною L=100 м і діаметром D=1 м, яка обертається, на «холодному кінці» підтримується температура =1200 К, на «горячому кінці» – =1300 К. Визначити потік тепла вздовж осі, який обумовлений променистим теплообміном. Стінки печі вважати «чорними». Можна обмежитись наближеною оцінкою ( 50% точності).

Відповідь: Тепловий потік, який проходить через який-небудь переріз, обумовлений різницею теплового випромінювання від точок труби, розміщених справа і зліва від неї на відстанях порядку радіуса труби. Тому цей потік можна оцінити за такою формулою:

,

де ;

.

Підставляючи Т=1250 К; =1 к/м, маємо: Q=360 Вт.

Точна відповідь, для отримання якої необхідне інтегрування, відрізняється від одержаного нами множником 4/3.