Линейные оболочки

Стандартным способом построения подпространств является образование линейной оболочки заданной системы векторов.

Линейной оболочкой системы векторов называется множество всех линейных комбинаций этих векторов. Линейная оболочка является минимальным подпространством, которое содержит все векторы системы , поэтому ее называют пространством, натянутым на векторы . Линейная оболочка системы векторов не изменится, если из нее удалить линейно зависимые вектора. Пусть − максимальная линейно независимая подсистема системы векторов . Тогда . Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы называется ее рангом (обозначается ).

Размерность равна рангу системы , а в качестве базиса линейной оболочки можно взять произвольную максимальную линейно независимую подсистему .