Базис, координаты, размерность

Упорядоченная система векторов образует базис пространства , если каждый вектор однозначно представим в виде (1.1).

Равенство (1.1) называется разложением вектора по базису, а коэффициенты - координатами вектора в этом базисе.

Из однозначности разложения (1.1) следует, что система линейно независима. Так как каждый вектор является линейной комбинацией базисных векторов, то система линейно зависима для любого . Это значит, что базис является максимальной линейно независимой системой в пространстве . Число векторов в максимальной линейно независимой системе пространства называется его размерностью и обозначается . Число базисных векторов (и координат) равно размерности пространства.

Каждый вектор однозначно задается своими координатами в фиксированном базисе. Координаты векторов обладают свойством линейности, т.е. при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Введение базиса позволяет перейти от абстрактных линейных операций в пространстве к обычным линейным операциям с координатами векторов. В рамках данного курса с целью применения матричного умножения координаты вектора будем записывать в виде столбца .

В пространстве определение координат фиксированного вектора в заданном базисе сводится к решению системы из линейных уравнений.

С другой стороны, если известны координаты векторов пространства, то соответствующий этим координатам базис канонический. Каноническим базисом называется базис, который состоит из векторов, у которых одна из координат равна 1, а остальные равны нулю. В некоторых пространствах (например, в пространстве ) легче сначала найти координаты векторов, а затем определить размерность пространства и построить базис.

Задачи. В каждом из пространств V₁, V₂, V₃, , выбрать некоторый базис и определить координаты векторов в этом базисе.