Пример решения задачи Д4

К невесомому валу АВ, закрепленному в точке А подпятником и в точке В – подшипником и вращающемуся с постоянной угловой скоростью w, жестко прикреплены невесомый стержень 1 длиной L₁, имеющий на конце груз массой m₁, и тело 2 в виде сплошной однородной квадратной пластины со стороной L₂ и массой m₂ (рис. Д4).

Рис. Д4

Д а н о: a = b = с = 0,5 м; L₁ = 0,4 м; m₁ = 2 кг; L₂ = 0,6 м; m₂ = 8 кг; w = 4 с^-1.

О п р е д е л и т ь: реакции подпятника А и подшипника В.

Р е ш е н и е

Для определения искомых реакций рассмотрим движение механической системы, состоящей из вала АВ, пластины и груза, и применим принцип Даламбера. Проведём вращающиеся вместе с валом оси xАy так, чтобы стержень и пластина лежали в плоскости xy, и покажем действующие на систему внешние силы: силы тяжести , составляющие реакции подпятника и реакцию подшипника .

Согласно принципу Даламбера покажем на рисунке силу инерции груза , считая груз материальной точкой, и главный вектор сил инерции пластины . Так как вал вращается равномерно (w = const), то элементы пластины имеют только нормальные ускорения, направленные к оси вращения. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращения.

Величина главного вектора сил инерции пластины

= m₂× a _C,

где a _C – ускорение центра масс пластины, при этом a _C = w² .

В результате

= 38,4 H.

Аналогично для силы инерции груза

= m₁×w²×L₁×sin 60° = 2×4²×0,4 = 11,1 H.

Так как все действующие силы и силы инерции лежат в плоскости ху, то и реакции подпятника А и подшипника В тоже лежат в этой плоскости, что было учтено при их изображении.

По принципу Даламбера действующие на тела системы внешние силы и приложенные силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составляя для этой плоской системы произвольно расположенных сил уравнения равновесия, получим

= 0; = 0, (1)

= 0; Y_A -P₁-P₂ =0, (2)

= 0; =0 (3)

Подставив в эти уравнения числовые значения всех заданных по условию задачи и вычисленных величин и решив эту систему уравнений, найдём искомые реакции.

О т в е т: X_A = 4,7 H; Y_A = 98,1 H;, X_B = 22,6 H.

Задание Д5. Уравнение Лагранжа II рода

Механическая система (см. рис. Д3.0–Д3.9 к задаче Д3) состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2 с радиусами ступеней R₁ = R, r₁ = 0,4R; R₂ = R, r₂ = 0,8R (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу); грузов 3, 4 и сплошного однородного цилиндрического катка 5. Вес каждого тела соответственно указан в табл. Д5 (столбцы 2–6). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Грузы скользят по плоскостям без трения, а катки катятся без скольжения. Кроме сил тяжести, на одно из тел системы действует постоянная сила , а на шкивы 1 и 2 при их вращении – постоянные моменты сил сопротивления, равные, соответственно, М₁ и М₂, величины которых также приведены в табл. Д5 (столбцы 7–9).

Требуется составить для данной системы уравнение Лагранжа и определить из него величину, указанную в столбце 10 табл. Д5, где e₁, e₂ – угловые ускорения шкивов 1 и 2, a ₃, a ₄, a _C5 – ускорения грузов 3, 4 и центра масс катка 5 соответственно. Когда в задаче надо определить e₁ или e₂ , принимают R = 0,25 м. Тот из грузов 3, 4, вес которого равен нулю, на чертеже не изображать. Шкивы 1 и 2 всегда входят в систему.

Т а б л и ц а Д5

Указания. В задаче Д5 механическая система имеет одну степень свободы, следовательно, ее положение определяется одной обобщенной координатой и для нее должно быть составлено одно уравнение.

За обобщенную координату q принимают:

-перемещение х соответствующего груза или центра масс катка 5 (в задачах, где требуется определить a ₃ , a ₄ или a _C5);

-угол поворота j соответствующего шкива (в задачах, где требуется определить e₁ или e₂).

Для составления уравнения необходимо вычислить сначала кинетическую энергию системы Т и выразить все вошедшие в Т скорости через обобщенную скорость, т.е. через , если обобщенная координата х, или через , если обобщенная координата j. Затем вычислить обобщенную силу Q. Для этого надо сообщить системе возможное перемещение, при котором выбранная координата, т.е. х (или j), получает положительное приращение dx (или dj), и вычислить сумму элементарных работ всех сил на этом перемещении; в полученном равенстве надо все другие элементарные перемещения выразить через δx (или δφ) и вынести δx (или δφ) за скобки. Коэффициент при δx (или δφ) и будет обобщенной силой Q.