Задание Д-3. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

Изменение кинетической энергии материальной системы на ее конечном перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил на этом перемещении:

,

где Т₀ – начальное значение кинетической энергии системы.

Формулы для подсчёта кинетической энергии твердого тела в различных видах его движения

Тело движется поступательно

Скорости всех точек твердого тела одинаковы и равны скорости центра масс тела, поэтому:

,

где М – масса твердого тела, кг; V_c – скорость центра масс тела, м/с.

Тело вращается вокруг неподвижной оси

,

где J_z – момент инерции тела относительно оси вращения тела, кг·м²; – угловая скорость вращения тела, 1/c.

Тело совершает плоское движение

Плоское движение может быть рассмотрено как сумма поступательного движения тела со скоростью центра масс и вращательного движения тела вокруг оси Сz^', перпендикулярной присоединенной плоскости и проходящей через центр масс тела, поэтому:

,

где J_Сz^' – момент инерции тела относительно оси вращения Сz^', кг·м²; - угловая скорость вращения тела, 1/c; М – масса твердого тела, кг; V_c – скорость центра масс тела, м/с.

Тело вращается вокруг неподвижной точки

,

где J_ω – момент инерции тела относительно мгновенной оси скоростей, кг·м².

Примечание: 1. Момент инерции цилиндра:

1. Момент инерции ступенчатого шкива:

2. Момент инерции блока, масса которого равномерно распределена по ободу:

Примеры вычисления работы сил

1. Сумма работ внутренних сил системы в общем случае отлична от нуля.

2. Если материальная система представляет собой абсолютно твердое тело, то сумма работ внутренних сил равна нулю.

3. Работа любой силы равна нулю, если сила приложена в неподвижной точке, скорость которой равна нулю в данный момент времени.

4. Работа внутренних сил натяжений гибких нерастяжимых тросов, канатов и т.п. равна нулю.

5. Работа силы тяжести равна произведению веса материальной системы на вертикальное перемещение центра масс, взятому со знаком «плюс», если центр масс опускается, и со знаком «минус», если центр масс поднимается:

А=± Mgh_c,

где М – масса материальной системы, кг; h_c – вертикальное перемещение центра масс, м; g – ускорение свободного падения, м/с².

6. Работа силы, приложенной к вращающемуся вокруг оси абсолютно твердому телу, равна:

А=± M^П(φ-φ₀),

где M^П - момент пары сил, приложенной к телу,

Нм; φ-φ₀ – значение конечного угла поворота тела.

7. Работа силы трения:

А= - F_тр·S,

где S - перемещение, м. Работа силы трения всегда отрицательна.

8. Работа сил упругости пружины:

9.

А=0,5с∙(λ²₀ - λ²₁),

где с - коэффициент жесткости пружины; λ - удлинение пружины, м. Работа положительна при λ₀> λ₁ и отрицательна при λ₀< λ₁.

Условие задания. Механическая система состоит из грузов 3 и 4 (коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1), сплошного однородного цилиндрического катка 5 и ступенчатых шкивов 1 и 2 с радиусами ступеней R₁ = 0,3 м; r₁ = 0,1 м; R₂ = 0,2 м; r₂ = 0,1 м (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу) (рис. Д3.0–Д3.9, табл. Д3). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Под действием силы F = F(S), зависящей от перемещения S точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 1 и 2 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные, соответственно, М₁ и М₂.

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы равно S. Искомая величина указана в столбце «Найти» табл. Д3, где V₃ – скорость груза 3; V_C5– скорость центра масс катка 5; w₁ – угловая скорость тела 1 и т.д.

Указания. При решении задачи Д3 следует учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергий всех входящих в систему тел; эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении кинетической энергии катка, движущегося плоскопараллельно, для установления зависимости между его угловой скоростью и скоростью его центра масс нужно воспользоваться понятием о мгновенном центре скоростей (кинематика). При определении работы все перемещения следует выразить через заданное перемещение S, учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.

Если по данным табл. Д3 масса груза равна 0, то этот груз на чертеже изображать не надо. Шкивы 1 и 2 всегда входят в систему.

Рис. Д3.0	Рис. Д3.1
Рис. Д3.2	Рис. Д3.3
Рис. Д3.4	Рис. Д3.5
Рис. Д3.6	Рис. Д3.7
Рис. Д3.8	Рис. Д3.9

Т а б л и ц а Д3