Об интегрировании простых дробей

После разложения правильной дробно-рациональной функции на простые дроби, для нахождения интеграла может потребоваться найти интегралы четырех типов:

1) ; 2) , (k > 1); 3) ; 4) , (k > 1).

При этом квадратный трехчлен в 3-ем и 4-ом интегралах не имеет вещественных корней, так что .

Интегралы 1) и 2) легко находятся:

1) ; 2) , (k > 1);

Нахождение интегралов третьего типа рассмотрено ранее.

Рассмотрим нахождение интеграла четвертого типа.

Чтобы устранить переменную х в числителе, сформируем в числителе производную квадратного трехчлена и получим два интеграла, один из которых будет табличным, а другой без переменной х в числителе.

,

где .

Получим рекуррентную формулу для вычисления интеграла . В квадратном трехчлене выделим полный квадрат и сделаем замену переменной.

.

Интеграл умножим и поделим на . В числителе подынтегральной дроби добавим и вычтем . Разобьем интеграл на два интеграла. Первый из получающихся интегралов того же типа, что и , только степень в знаменателе на единицу меньше. Второй интеграл можно найти по частям. Найдем

.

.

Тогда

.

Окончательно, получим рекуррентную формулу

.

Пример 4 27. Найти интеграл .

В числителе подынтегральной функции сформируем производную знаменателя () и разобьем интеграл на два интеграла

.

Один интеграл найдем с помощью замены переменной

.

В другом интеграле также сделаем замену переменной и разобьем на два интеграла, получим

.

.Здесь первый интеграл равен .

Второй интеграл найдем, используя метод интегрирования по частям.

.

Тогда интеграл

.

Найдем исходный интеграл

.