Определение неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл является одним из основных понятий раздела высшей математики, называемого интегральным исчислением. Интегральное исчисление занимается методами решения задач, связанных с нахождением функции по ее производной. Неопределенный интеграл определяется через понятие первообразной функции.

Функция называется первообразной для функции на интервале , если для любого х, принадлежащего

.

Например, не трудно видеть, что для функции первообразной является функция , так как .

Найдем производные от функций и .

.

.

Функция имеет две первообразные функции. Найдем разность этих функций .

Следовательно, эти первообразные функции отличаются друг от друга на постоянную величину.

Теорема 4.1 о существовании первообразной функции. Для любой непрерывной функции существует бесконечное множество первообразных функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Покажем, что для функции существует первообразная функция , являющаяся площадью криволинейной трапеции с переменной граничной прямой (рис. 56).

Рис.56

Пусть правая граничная прямая изменяет положение от х до . На этом отрезке непрерывная функция достигает своего наибольшего М и наименьшего m значений

, .

Очевидно, значение площади элементарной криволинейной трапеции на отрезке удовлетворяет неравенству . Поделим это неравенство на , получим . При наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке стремятся к одной и той же величине , .

По теореме о промежуточной функции , т. е. является первообразной для функции .

2. Покажем, что для данной функции существует бесконечное множество первообразных функций. Действительно, если к данной функции прибавить любую постоянную величину, то ее производная не изменится

, .

3. Покажем также, что любые две первообразные функции отличаются друг от друга на постоянную величину. Пусть и первообразные функции для . Тогда и . Найдем их разность, получим . Если производная функции равна нулю, то функция является постоянной. Следовательно, , где , и .

Определение неопределенного интеграла. Неопределенным интегралом для непрерывной функции называется выражение , объединяющее множество всех первообразных функций, т. е.

, где , .

Геометрически неопределенный интеграл представляет бесконечное множество интегральных кривых, которые являются «параллельными» между собой.