Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Понятие дифференциала функции. Связь между дифференциалом и производной





Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [ a; b ]. Производная этой функции в некоторой точке х 0  [ a; b ] определяется равенством

.

Следовательно, по свойству предела

Умножая все члены полученного равенства на Δ x, получим:

Δ y = f ' (x 0)·Δ x + a·Δ x.

Итак, бесконечно малое приращение Δ y дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f ' (х 0) ≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δ x, а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δ x. Главную часть приращения функции, т.е. f ' (х 0)·Δ x называют дифференциалом функции в точке х 0 и обозначают через dy.

Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f ' (x) в точке x, то произведение производной f ' (x) на приращение Δ x аргумента называют дифференциалом функции и обозначают:

dy = f '(x)·Δ x (1)

Найдем дифференциал функции y= x. В этом случае y ' = (x)' = 1 и, следовательно, dy = dxx. Таким образом, дифференциал dx независимой переменной x совпадает с ее приращением Δ x. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:

dy = f '(x) dx

Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную f '(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке.

Справедливо и обратное утверждение.

Если для данного значения x приращение функции Δ y = f (xx) – f(x) можно представить в виде Δ y = A ·Δ x + α, где α – бесконечно малая величина, удовлетворяющая условию , т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x, то эта функция имеет производную в точке x и f '(x)= А.

Действительно, имеем , и так как при Δ x →0, то .

Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.

Примеры. Найти дифференциалы функций:

1.

2. .

Date: 2015-09-02; view: 394; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.013 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию