Примеры. 1. Найти производную четвертого порядка функции y= ln x

1. Найти производную четвертого порядка функции y = ln x.

.

2. .

3. Найти производную n -го порядка функции y = e^{k x} .

y '= k ·e^kx, y ''= k ²·e^kx, y ''' = k ³·e^kx, …, y ⁽ⁿ⁾ = k ⁿ·e^kx.

4. Найти производную n -го порядка функции y = sin x.

Имеем

Выясним механический смысл второй производной. (Механический смысл первой производной – скорость).

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s =s(t), где s – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения есть v= s'(t) = v(t), т.е. тоже некоторая функция времени.

В момент времени t скорость имеет значение v=v(t). Рассмотрим другой момент времени t +Δ t. Ему соответствует значение скорости v ₁ = v (t +Δ t). Следовательно, приращению времени Δ t соответствует приращение скорости Δ v = v ₁ – v = v (t + Δ t) – v (t). Отношение называется средним ускорением за промежуток времени Δ t.

Ускорением в данный момент времени t называется предел среднего ускорения при Δ t →0:

.

Таким образом, ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени. Но как мы уже видели, скорость есть производная пути s по времени t: v = s '. Учитывая это, имеем:

a = v '(t) = (s ')' = s ''(t),

т.е. ускорение прямолинейного движения точки равно 2-й производной пути по времени

a = S''(t).