Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теорема о производной сложной функции





Пусть y = f(u), а u = u (x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u = u (x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y = f(u).

Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз.

Установим правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция u = u (x) имеет в некоторой точке x0 производную и принимает в этой точке значение u0 = u (x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную y 'u= f '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y 'x= f '(u0u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u = u (x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значении х 0 будем иметь u 0= u (x 0), у 0 =f(u 0 ). Для нового значения аргумента x0x:

Δ u = u (x0 + Δ x) – u (x 0), Δ y = f (u0u) – f (u0).

Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δ x →0 Δ u →0. Аналогично при Δ u →0 Δ y →0.

По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δ u →0)

,

где α→0 при Δ u →0, а, следовательно, и при Δ x →0.

Перепишем это равенство в виде:

Δ y = y 'uΔ u +α·Δ u.

Полученное равенство справедливо и при Δ u =0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δ u =0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δ x

.

По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δ x →0, получим y 'x= y 'u·u 'x. Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y 'x= y 'u· u 'x. Применяя эту же теорему для u 'x получаем , т.е.

y 'x = y 'x· u 'v· v 'x = f 'u (uu 'v (vv 'x (x).

Date: 2015-09-02; view: 439; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию