Примеры. 1. y = ex. Обратной для этой функции является функция x= ln y

1. y = e^x. Обратной для этой функции является функция x = ln y. Мы уже доказали, что . Поэтому согласно сформулированной выше теореме

Итак,

2. Аналогично можно показать, что (a ^x) ' = a ^x·ln a. Докажите самостоятельно.

3. y = arcsin x. Рассмотрим обратную функцию x = sin y. Эта функция в интервале – π/2< y <π/2 монотонна. Ее производная x ' = cos y не обращается в этом интервале в нуль. Следовательно, по теореме о производной обратной функции

.

Но на (–π/2; π/2) .

Поэтому

4. Аналогично

Докажите самостоятельно.

5. y = arctg x. Эта функция по определению удовлетворяет условию существования обратной функции на интервале –π/2< y < π/2. При этом обратная функция x = tg y монотонна. По ранее доказанному .

Следовательно, y ' = cos² y. Но .

Поэтому

6.

7. Используя эти формулы, найти производные следующих функций: