Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов в линейном пространстве





Теорема 4.11 Пусть и – симметричные билинейные формы, определенные в вещественном линейном пространстве V. Допустим далее, что для всех , , справедливо неравенство (т.е. квадратичная форма – положительно определенная). Тогда в пространстве V можно указать базис такой, что квадратичные формы и могут быть представлены в виде

, (4.42)

, (4.43)

 

где – координаты вектора в базисе .

Алгоритм приведения пары квадратичных форм одним преобразованием одну к каноническому виду, а другую – к нормальному

1. Находим матрицы и квадратичных форм и соответственно и определяем решения уравнения . Тогда канонический вид квадратичной формы , а нормальный вид квадратичной формы .

2. Найдем базисные векторы из системы уравнений для каждого .

3. По матрице строим поляризацию квадратичной формы . Симметрическая билинейная функция определяет скалярное произведение. К полученным базисным векторам применяется процесс ортогонализации Грамма-Шмидта относительно этого скалярного произведения.

4. Составляем матрицу перехода из координат ортонормированных векторов и получаем формулы замены координат.

Пример 10 Для квадратичных форм и определить базис, в котором одна из этих квадратичных форм имеет канонический вид, а другая квадратичная форма приводится к нормальному виду, и соответствующую замену координат.

Решение. Находим матрицы и квадратичных форм и соответственно:

, .

Форма является положительно определенной, так как главные миноры ее матрицы положительны.

Решим уравнение :

,

,

, , , .

Тогда канонический вид квадратичной формы , а нормальный вид квадратичной формы .

Для каждого из чисел , решим матричное уравнение .

При получаем ,

При получим . Тогда первый базисный вектор имеет вид .

При получаем ,

При получим . Тогда второй базисный вектор имеет вид .

По матрице строим поляризацию квадратичной формы . Пусть и :

.

Симметрическая билинейная функция задает скалярное произведение. Векторы и ортогональны относительно этого скалярного произведения: . Тогда векторы и образуют ортонормированный базис относительно скалярного произведения, определяемого функцией .

,

,

,

.

Тогда , .

Запишем координаты векторов и в виде столбцов матрицы. Получим матрицу перехода:

.

Отсюда получаем замену переменных:

 








Date: 2015-08-24; view: 1069; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2017 year. (0.008 sec.) - Пожаловаться на публикацию