Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Унитарный (ортогональный) оператор
Линейный оператор () называется унитарным (ортогональным), если справедливо соотношение . (3.16) В дальнейшем соотношение (3.16) будем называть условием унитарности оператора. Замечание 1 Из условия (3.16) унитарности оператора следует, что для любого унитарного оператора U справедливо равенство . Отметим следующее утверждение. Теорема 3.12 Если λ – собственное значение унитарного оператора U, то . Теорема 3.13 Для того чтобы линейный оператор U, действующий в евклидовом пространстве , был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено соотношение . (3.17) Замечание 2 В процессе доказательства теоремы установлено, что условие (3.16) унитарности оператора U и условие (3.18) эквивалентны. Таким образом, в основу определения унитарного оператора можно положить условие (3.18). Это условие также можно называть условием унитарности оператора U. Матрица U называется ортогональной, если . (3.19) Если – ортонормированный базис в евклидовом пространстве , то оператор U является ортогональным тогда и только тогда, когда его матрица в базисе ортогональна. Свойства ортогональных матриц: 1. Действительная квадратная матрица ортогональна тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств , . 2. Единичная матрица является ортогональной. Нулевая матрица ортогональной не является. 3. Если матрица ортогональна, то тоже ортогональна. 4. Если матрицы и ортогональны, то – ортогональна. 5. Определитель ортогональной матрицы равен 1 или –1. 6. Действительная квадратная матрица ортогональна тогда и только тогда, когда все ее строки (столбцы) образуют ортонормированный базис в . 7. Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису является ортогональной. 8. Если матрица перехода от одного базиса к другому ортогональна и один из этих базисов ортонормирован, то и второй базис является ортонормированным. Непосредственно из равенства (3.19) следует, что если матрица является ортогональной, то В заключение рассмотрим для примера ортогональных преобразований в одномерном и двумерном пространствах. В одномерном случае каждый вектор имеет вид , где α – вещественное число, и е – вектор, порождающий данное пространство. Тогда , и так как , то . Таким образом, в одномерном случае существуют два ортогональных преобразования: и . В двумерном случае каждое ортогональное преобразование определяется в произвольном ортонормированном базисе ортогональной матрицей второго порядка, т.е. матрицей . Из условия (3.18) следует , , , , . Полагая , , получаем, что каждая ортогональная матрица второго порядка имеет вид , причем во второй строке в обоих случаях следует брать либо знак +, либо знак –. Отметим, что . Ортогональная матрица называется собственной, а ортогональная матрица – несобственной. Оператор с матрицей в ортонормированном базисе осуществляет поворот в плоскости на угол φ. Для того чтобы выяснить, как действует оператор с матрицей , введем матрицу , совпадающую с при , и заметим, что . Матрице Q отвечает отражение плоскости относительно оси , и следовательно, действие оператора заключается в повороте на угол φ и последующем отражении. В общем случае, когда ортогональный оператор действует в -мерном евклидовом пространстве, существует ортонормированный базису, , в котором матрица оператора Q имеет вид . В этой матрице все элементы, кроме выписанных, равны нулю. Таким образом, в некотором ортонормированном базисе действие ортогонального оператора сводится к последовательным поворотам и отражениям относительно координатных осей. Пример 10 Для ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей , определить канонический вид и ортонормированный базис, в котором матрица ортогонального оператора имеет канонический вид. Решение. В трехмерном евклидовом пространстве матрица ортогонального оператора в подходящем ортонормированном базисе имеет один из следующих видов: и . След матрицы линейного оператора – это инвариант линейного оператора, который не зависит от базиса. Для матрицы : . Для матрицы : . Для матрицы : . Равенство невозможно, поэтому канонический вид матрицы ортогонального оператора равен . Так как , то . Отсюда и . Поэтому . Собственные значения матрицы равны . Найдем соответствующие собственные векторы. Пусть . Тогда Собственный вектор, соответствующий , равен . Пусть . Тогда . Так как у нас действительное линейное пространство, то возьмем за два других собственных вектора действительную и мнимую части полученного вектора, т.е. и . Базис из собственных векторов является ортогональным, получим из него ортонормированный базис: , , . Пример 11 Является ли унитарным оператор , действующий в этом унитарном пространстве , если в некотором ортонормированном базисе он имеет матрицу: а) ; б) ? Решение. а) . Проверим выполнение условия . Значит, – унитарная матрица, и, следовательно, – унитарный оператор. б) . Проверим выполнение условия . Значит, не является унитарной матрицей, и, следовательно, не является унитарным оператором. Пример 12 Линейные операторы , действующие в этом унитарном пространстве , имеют в ортонормированном базисе матрицы: , , . Установить, являются ли операторы и унитарными операторами. Решение. Так как , то матрица этого оператора в базисе имеет вид: , , значит, – унитарная матрица. Поэтому – унитарный оператор. Аналогично, матрица оператора в базисе имеет вид: . Легко проверить, что условие унитарности выполняется, значит, – унитарная матрица. Поэтому – унитарный оператор.
3.4 Нормальный оператор
Линейный оператор А называется нормальным, если справедливо соотношение . (3.19) Обращаясь к условию (3.18) унитарности оператора и к условию (3.19), мы видим, что любой унитарный оператор является нормальным оператором. Лемма. Пусть А – нормальный оператор. Тогда оператор А и оператор имеют общий собственный вектор такой, что , и справедливы соотношения и . Теорема 3.14 Пусть А – нормальный оператор. Тогда существует ортонормированный базис , состоящий из собственных векторов операторов А и . Следствие 1 Пусть А – нормальный оператор. Существует базис , в котором А имеет диагональную матрицу. Следствие 2 Унитарный оператор имеет полную ортонормированную систему собственных векторов. Следующая теорема является обратной для теоремы 3.14. Теорема 3.15 Если у действующего в -мерном евклидовом пространстве оператора А имеется попарно ортогональных собственных элементов , , …, , то оператор А нормальный. Пример 13 Является ли нормальным линейный оператор, заданный в некотором ортонормированном базисе матрицей ? Если да, то найти канонический базис, т.е. ортонормированный базис, в котором матрица этого оператора имеет блочно-диагональный вид с блоками порядка 1 или 2. Решение. Достаточно проверить равенство : , . Получили одинаковые матрицы, значит, оператор является нормальным. Перейдем к поиску ортонормированного базиса. Найдем характеристический многочлен и его корни: . Таким образом, , . Найдем собственный вектор, соответствующий единственному действительному собственному значению :
В этом случае собственный вектор . Найдем собственный вектор, соответствующий одному из двух сопряженных комплексных собственных значений, например, : За собственные векторы возьмем действительную и мнимую части ФСР системы: , . Нормируя все найденные векторы, получим: , , . Это и есть искомый ортонормированный базис. Так как , , , то в этом ортонормированном базисе нормальный оператор имеет матрицу: .
|