Билинейныеформы

Числовая функция , аргументами которой являются всевозможные векторы и вещественного линейного пространства , называется билинейной формой, если для любых векторов , , и любого вещественного числа λ выполняются соотношения

(4.1)

Иными словами, билинейная форма представляет собой числовую функцию двух векторных аргументов и , определенную на всевозможных векторах и вещественного линейного пространства и линейную по каждому из этих аргументов.

Пример 1 Скалярное произведение в евклидовом пространстве – пример билинейной функции.

Пример 2 Рассмотрим линейное пространство . Пусть , . Определим функцию следующим образом: . Убедимся, что является билинейной функцией.

Пусть – вектор пространства . Так как , то

.

Так как , то

.

Так как , то

.

Так как , то

.

Билинейная форма называется симметричной (кососимметричной), если для любых векторов и линейного пространства выполняются соотношения

(). (4.2)

Справедливо следующее утверждение: любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейных форм.

Пусть в n -мерном линейном пространстве задана билинейная форма . Выясним вопрос о представлении формы в случае, когда в задан определенный базис .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.1 Билинейная форма при заданном в n-мерном линейном пространстве базисе может быть однозначно представлена в следующем виде:

, (4.3)

где

, (4.4)

а и – координаты в базисе векторов и соответственно.

Матрица

, (4.5)

элементы которой определены с помощью соотношений (4.4), называется матрицей билинейной формы в данном базисе .

Замечание 1 Любая квадратная матрица является в данном базисе матрицей некоторой билинейной формы.

Замечание 2 Если – симметричная (кососимметричная) билинейная форма, то матрица (4.5) этой формы в базисе е является симметричной (кососимметричной). Справедливо и обратное – если матрица (4.5) билинейной формы симметрична (кососимметрична), то и билинейная форма является симметричной (кососимметричной).

Пример 3 Рассмотрим линейное пространство . Пусть , . Определим билинейную функцию следующим образом: . Определим матрицу этой билинейной функции в базисе , , .

Так как размерность линейного пространства равна 3, то порядок матрицы билинейной функции в базисе , , равна 3. Вычислим элементы матрицы:

, , ,

, , ,

, , ,

Тогда матрица билинейной функции в базисе , , равна

.

Выясним вопрос о преобразовании матрицы билинейной формы при переходе от базиса е к новому базису f.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.2 Матрицы и билинейной формы в базисах и связаны соотношением

, (4.7)

где – матрица перехода от базиса е к базису .

Пример 4 Дана матрица билинейной функции в базисе , . Найти матрицу этой билинейной функции в базисе , .

Матрица перехода имеет вид: . Отсюда . Тогда матрица билинейной функции в базисе , равна .

Следствие. Ранг матрицы равен рангу матрицы . Это сразу вытекает из соотношения (4.7), из того, что матрица и, стало быть, матрица являются невырожденными, и из теоремы о том, что ранг матрицы не изменяется при умножении ее на невырожденную матрицу.

Это следствие позволяет ввести важный числовой инвариант билинейной формы – так называемый ранг билинейной формы.

Рангом билинейной формы, заданной в конечномерном линейном пространстве , называется ранг матрицы этой формы в произвольном базисе пространства .

Билинейная форма , заданная в конечномерном линейном пространстве , называется невырожденной (вырожденной), если ее ранг равен (меньше) размерности пространства .