Решение. Главное значение логарифмической функции имеет вид:

Главное значение логарифмической функции имеет вид:

где область D:

Действительная и мнимая части функции:

Проверим выполнимость условий КРЭДа. Для этого воспользуемся формулой (12), предварительно найдя частные производные:

; ; ; Подставим их в (12) и получим:

условия выполнены в любой точке области D, следовательно, функция дифференцируема в области D. И, очевидно, дифференцируемой в области D будет любая однозначная ветвь логарифма: Ln

Найдем производную, используя формулу (13):

, как и было показано выше.

Определение 27. (первое определение аналитической функции)Функция , дифференцируемая в каждой точке z области D и имеющая в этой области непрерывную производную , называется аналитической в области D.

Замечание. Будем говорить, что аналитическая в точке z области D, если является аналитической в некоторой окрестности этой точки.

Другие названия аналитической функции: голоморфная, регулярная, моногенная.

Определение 28. Точки плоскости, в которых однозначная функция аналитическая, называются правильными точками.

Определение 29. Точки, в которых нарушается аналитичность функции, называются особыми.

Пример 20. Найти особые точки функции