Понятие ФКП

Глава 2. Функции комплексного переменного. Дифференцируемость и отображения

Понятие ФКП

Определение 14. Пусть дано некоторое множество М комплексных чисел z, например, некоторая область на плоскости Гаусса (z). Если каждому элементу z из этого множества по некоторому закону f поставлено в соответствие одно, вообще говоря, комплексное число ω = f (z), то говорят, что на множестве М определена функция комплексного переменного (ФКП) – ω.

ω = f (z)

Это определение однозначной функции. Если же каждому элементу z из этого множества по некоторому закону f поставлено в соответствие несколько значений ω, то функцию называют многозначной.

Область определения ФКП – множество М точек плоскости Гаусса (z).

Если каждая точка некоторого множества Е является значением функции ω = f (z), то говорят что Е – область значений данной функции или образ множества М. Функция ω = f (z) отображает М на Е.

Множество значений – также множество точек плоскости Гаусса, той же самой или, для удобства рассуждений, некоторой другой, но такой же плоскости Гаусса (ω).

Определение 15. Область М (на плоскости, в пространстве) называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывно стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области (иначе, область без «дырок»).

Например, область М, ограниченная замкнутой, не самопересекающейся линией называется односвязной. Если область М ограничена двумя замкнутыми не пересекающимися и не самопересекающимися линиями, то М называется двусвязной.

Если l ₁ – внешняя кривая, l ₂ – внутренняя кривая, ограничивающая область М, то М является двусвязной и в том случае, если l ₂ вырождается в точку или в дугу непрерывной линии. Аналогично могут быть определены трехсвязные, четырехсвязые и т.д. области (рис. 11).

В теории функций действительного переменного (ТФДП) изучаются функции, как отображения множеств евклидова пространства Е_n в евклидово пространство Е ₁.

Замечание. Евклидово пространство – метрическое пространство, в котором для любых двух точек x и y определено число ρ (x, y) – расстояние от х до y или метрика так, что выполняются аксиомы:

1) ρ (x, y) = ρ (y, х),

2) ρ (x, y) > 0 при x y; ρ (x, х) = 0 при любых х,

3) ρ (x, y) + ρ (y, z) ρ (y, z).

В ТФКП изучаются операторы, отображающие евклидово пространство Е ₂ в себя.

Определение 16. Закон преобразования функций – прообразов в функции – образы называется оператором.

Понятие оператора аналогично понятию функции, но если функция преобразует числа – значения независимого переменного в числа – значения зависимого переменного, то оператор преобразует функции в функции. Например, рассмотрим оператор дифференцирования D: D (f) = f ´. Тогда D (sin x) = cos x, где sin x – прообраз, cos x – образ.

Итак, ФКП – оператор отображения плоскости в себя или в другую плоскость.

Ни с каким иным геометрическим представлением ФКП не связана, кроме профиля модуля.

Определение 17. П рофилем модуля функции в пространстве (x, y, N) называется поверхность , каждая аппликата которой равняется модулю функции в данной точке z с координатами x, y плоскости Гаусса.

Рассмотрим комплексное число z = x + iy, тогда значение функции в точке z равно ω = f (z) – также комплексное число, а значит, как и всякое комплексное число, состоит из действительной и мнимой частей:

ω = f (z) = u + iv,

Re[ f (z)] = u – действительная часть, Im[ f (z)] = v – мнимая часть функции ω = f (z).

Таким образом, при переходе от точки z к точке z ₁ меняются координаты x и y на плоскости Гаусса, следовательно, меняется и значение f (z), т.е. изменяются u и v, следовательно, u и v тоже функции переменных x и y:

ω = f (z) = u (x, y) + iv (x, y).

Итак, ФКП определяется двумя функциями, каждая из которых в свою очередь есть действительная функция двух переменных.

Задача. Получить выражения для x, y через z и .