Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Явный метод ЭйлераРассмотрим , где , – текущий шаг интегрирования. Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки : . Ограничившись в этом разложении двумя членами, получим разност-ную схему метода Эйлера . Локальная погрешность метода Эйлера составляет величину . В вычислительной математике численные методы решения обык-новенных дифференциальных уравнений принято характеризовать порядком точности. Определение. Если локальная погрешность численного метода ,то порядок точности такого метода равен . Метод Эйлера является методом первого порядка. Приведем геометрическую интерпретацию явного метода Эйлера для задачи Коши (см. рис. 10.2). Приращение на шаге интегрирования – катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла, тангенс которого равен значению производной в предыдущий момент времени. Вторым катетом этого треугольника является текущий шаг интегрирования. Рис. 10.2. Геометрическая иллюстрация явного метода Эйлера
Оценим устойчивость метода Эйлера по отношению к шагу ин- тегрирования. Для этого рассмотрим линейную автономную систему с отрицательно определенной матрицей простой структуры. Отрицательная определенность матрицы означает, что все собствен-ные значения матрицы действительны и отрицательны, т. е. . В этом случае все решения . Применим для решения этой системы метод Эйлера с постоянным шагом : . Здесь E – единичная матрица соответствующей размерности. Из алгебры известно, что для любой неособенной матрицы простой структуры существует такая неособенная матрица , которая преобразованием подобия приводит матрицу к диагональному виду: . Преобразуем вычислительную схему метода Эйлера следующим образом: . Введем замену переменных . Тогда , или . Запишем это соотношение для i-й компоненты вектора : , или , где , т. е. определяется начальным условием. Нетрудно видеть, что , если . Именно этим свойством обладает решение автономной системы с отрицательно определенной матрицей. Отсюда приходим к требованиям , при этом неравенство приводит к естественному условию , т. к. , а неравенство - к условию . Очевидно, чтобы , необходимо при выборе шага интегрирования выполнить условие . Таким образом, явный метод Эйлера по отношению к шагу интегрирования является условно устойчивым.
|