Формула трапеций

Примем шаг сетки, которой покрывается отрезок интегрирования , постоянным и равным

,

где – число интервалов разбиения. Узлы интерполяции вычисляются в этом случае по правилу:

,

причем .

Заменим подынтегральную функцию на отрезке интерполяционным многочленом Лагранжа первого порядка:

.

Тогда

.

Первый член в таком представлении является приближенным значением определенного интеграла, второй – погрешностью расчета.

В частности

Аналогично

Просуммируем

,

где

Отсюда следует, что формула трапеций имеет достаточно простой вид:

.

При этом ошибка вычисления определенного интеграла не превосходит величины:

,

где

.

Погрешность формулы трапеций имеет второй порядок относительно шага сетки.

Точность вычисления определенного интеграла может быть повышена двумя способами: уменьшением шага сетки, увеличением точности интерполяции подынтегральной функции.