Формула Симпсона

Разобьем интервал интегрирования на четное число частей . В этом случае шаг сетки (шаг интерполирования)

,

и сеточные узлы принимают значения

,

при этом .

Рассмотрим простейший случай, когда сетка содержит только три узла: . Очевидно, что . Вычислим приближенное значение интеграла, заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второго порядка:

Первый член, составляющий приближенное значение искомого интеграла, легко интегрируется точно. В результате имеем следующее равенство:

,

где , – погрешность вычисления интеграла. Таким образом, формула Симпсона для случая трех узлов имеет вид

. (9.1)

Оценим погрешность . Так как погрешность интерполяции подынтегральной функции многочленом Лагранжа второго порядка пропорциональна третьей производной от подынтегральной функции, то соотношение (9.1) является точным для всех подынтегральных функций, описываемых полиномом второй степени. В силу симметрии эта формула является точной и для подынтегральных функций, описываемых полиномом третьей степени:

,

так как она точна для . В этом нетрудно убедиться, проверив справедливость равенства

.

Рассмотрим полином третьей степени, удовлетворяющий условиям

.

Он интерполирует функцию на отрезке по значениям функции в узлах и по значению ее производной в узле (узел имеет кратность два):

,

где – погрешность кратной интерполяции, которая равна

.

(Вывод погрешности кратной интерполяции опустим.) Тогда можем записать, что

Найдем теперь погрешность приближения определенного интеграла:

Пусть теперь сетка содержит произвольное число узлов , принадлежащих отрезку интегрирования , причем . Последовательно вычислим интеграл на отрезках длиной , интерполируя подынтегральную функцию многочленом Лагранжа второго порядка:

Просуммируем левые и правые части этих соотношений:

,

где

.

Таким образом, формула Симпсона принимает следующий вид:

.

Погрешность вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона имеет четвертый порядок относительно шага сетки:

где

.