Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Сплайн-интерполяцияНазовем m-сплайнами полиномы невысокого порядка m, которыми аппроксимируется функция на интервалах и которые сшиваются в узлах интерполяции на основе требования непрерывности интерполирующей функции и ее первых производных. Рассмотрим наиболее широко используемую на практике кубическую сплайн-интерполяцию. В ней искомая функция на интервале аппроксимируется полиномом третьей степени (8.1) Аналогичные полиномы можно записать для всех n интервалов, т. е. соотношение (8.1) справедливо для . Условия сшивки сплайнов в узлах интерполяции: , (8.2) , (8.3) . (8.4) Кроме того, необходимо задать граничные условия в точках и . Это можно сделать несколькими способами. Здесь будем считать, что , т. е. будем рассматривать интерполяцию так называемыми естественными сплайнами. Условие (8.2) приводит к уравнениям: (8.5) Получили уравнений относительно неизвестных , . Вычислим производные: Построим уравнения, к которым приводит условие непрерывности первой производной в узлах . При кубической сплайн-интерполяции выражения для первой производной на соседних интервалах интерполирования имеют вид Требование непрерывности первой производной в узлах (условие 8.3) приводит к уравнениям . (8.6) В свою очередь, непрерывность второй производной в этих же узлах (условие (8.4)) позволяет записать , или . (8.7) Наконец, из граничных условий , получим, что . (8.8) Соотношения (8.5), (8.6), (8.7), (8.8) составляют систему линейных алгебраических уравнений, всего уравнений, относительно неизвестных. Построим эффективный метод решения этой системы. Выразим из (8.7) : , (8.9) и подставим в (8.5): . Учтем, что : . Выразим из этого соотношения : . (8.10) Подставим теперь в формулу (8.6): Выполним очевидные преобразования и запишем результирующую систему в виде: (8.11) Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных . Однако, если учесть, что из граничных условий , то приходим к системе линейных алгебраических уравнений с треугольной симметрической матрицей Обратите внимание: матрица системы обладает диагональным преобладанием! Эту систему можно эффективно решать методом -факторизации. Вычислив коэффициенты , из соотношений (8.9) находим . Из условия (8.8) определяем : Коэффициенты рассчитаем из (8.10): так как . Коэффициенты , известны из (8.5). В результате для всех кубических сплайнов определены коэффициенты . Расчет значений функции методом сплайн-интерполяции осуществляется следующим образом: 1. По описанной выше методике вычисляются коэффициенты кубических сплайнов; 2. Находится интервал , которому принадлежит данное . Значение функции на этом интервале вычисляется из кубического сплайна с параметрами для интервала .
|