Дискретный метод Ньютона

Дискретный метод Ньютона базируется на аппроксимации матрицы Якоби на основе вычисленных значений функции в ряде вспомогательных точек. Построим его. Как и прежде, будем использовать векторную запись решаемой системы уравнений

.

Пусть известно k -е приближение к решению . Аппроксимируем функцию линейной функцией:

.

Для численного определения матрицы и вектора потребуем, чтобы значения функций и совпадали в (n+ 1 ) вспомогательных точках , т. е. чтобы выполнялось равенство

.

Вычитая из первого равенства все последующие, получим соотношения

или в матричной форме

,

где матрицы и имеют вид

Следовательно,

.

Условие позволяет найти вектор :

.

Перепишем функцию , подставив найденные соотношения для и :

Примем . Будем искать из уравнения

Получим итерационную формулу дискретного метода Ньютона:

.

Заменяя обращение матрицы решением линейной системы, придем к реализуемому на практике алгоритму дискретного метода Ньютона:

1. Вычисляется вектор , матрицы и .

2. Решается система линейных алгебраических уравнений

3. Вычисляется вектор поправки

.

4. Вычисляется (k+ 1 ) -е приближение

5. Пункты 1÷4 повторяются для k= 0, 1, 2 ,… до получения решения с требуемой точностью.

Применение дискретного метода Ньютона предполагает хранение -матриц и . Однако на практике в качестве вектора выбирается вектор

,

где – диагональная матрица параметров дискретизации, – j -й столбец единичной матрицы. Элементы матрицы вычисляют по правилу , где – константа (например, 0.1).