Вычеты ФКП в изолированных особых точках

Определение 1. Точка называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки с исключенной точкой , в которой аналитическая, кроме самой точки .

Определение 2. Точка называется устранимой особой точкой, если разложение функции в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит главной части.

Определение 3. Точка называется полюсом кратности функции, если в разложении ее в ряд Лорана в окрестности этой точки главная часть содержит конечное число членов, причем младшим отличным от нуля коэффициентом является . Если кратность равна единице , то точка называется простым полюсом.

Определение 4. Точка называется существенно особой точкой функции , если главная часть ее разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.

Определение 5. Вычетом функции относительно точки (обозначается или ) называется число, равное

,

где - простой замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции и содержащий внутри себя только одну особую точку .

В качестве удобно брать окружность достаточно малого радиуса . Из определения следует, что вычет функции совпадает с коэффициентом разложения ее в ряд Лорана по степеням : . Отсюда следует, что вычет в устранимой особой точке равен нулю. Вычет в простом полюсе равен

.

Вычет функции в полюсе порядка равен

.

Если – существенно особая точка функции , то для определения необходимо найти коэффициент в лорановском разложении функции в окрестности точки .

Теорема Коши о вычетах. Если функция - аналитическая на границе области и внутри области, за исключением конечного числа изолированных особых точек , то