Комплексные числа и операции над ними

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ФКП)

Комплексные числа и операции над ними

Комплексным числом называется пара действительных чисел , записанных в определенном порядке: . Множество комплексных чисел будем обозначать . Одним из обозначений служит запись вида

,

называемая алгебраической формой записи комплексного числа . В этой записи называется действительной, - мнимой частями комплексного числа (для этого употребляется также запись , ); называется «мнимой единицей»: . Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:

.

Здесь величина называется модулем комплексного числа; аргумент комплексного числа определяется из равенств , . Главное значение аргумента комплексного числа заключено в промежутке и вычисляется по формуле

Показательная форма записи комплексного числа

.

Арифметические действия над комплексными числами:

Равенство комплексных чисел если .

Сложение .

Вычитание .

Умножение ,

в тригонометрической форме:

.

Деление , ,

в тригонометрической форме:

.

Сложение и умножение комплексных чисел подчиняются законам:

1. (коммутативность сложения);

2. (ассоциативность сложения);

3. (коммутативность умножения);

4. (ассоциативность умножения);

5. (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Определение. Комплексное число называется сопряженным комплексному числу .

Свойства операции сопряжения:

1) 2)

3) 4) 5)

Вычисление корня из комплексного числа:

,

. Здесь - модуль комплексного числа .Корни расположены на комплексной плоскости в вершинах правильного -угольника, вписанный в окружность радиуса с центром в точке .