Парадокс Рассела. Программа Гильберта

Парадокс Рассела формулируется следующим образом:

Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если предположить, что содержит, то мы получаем противоречие с "Не содержат себя в качестве своего элемента". Если предположить, что K не содержит себя как элемент, то вновь возникает противоречие, ведь K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, а значит должно содержать все возможные элементы, включая и себя.

Существует много формулировок этого парадокса. Здесь приведены часто встречающиеся:

· Наиболее ранняя из формулировок, приписываемая софистам, называется Парадокс лжеца: «Критянин сказал, что все критяне лжецы. Сказал ли он правду?»

· Парадокс брадобрея: Единственному деревенскому брадобрею приказали: «Брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется». Кто побреет брадобрея?

· В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров». Где должен жить мэр Города мэров?

· Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

· Парадокс всемогущества: может ли всемогущее существо сделать что-либо, что ограничило бы его способность выполнять действия?

Программа Гильберта представляет собой четко продуманный план работы по безупречному обоснованию всей математики. Полная реализация программы Гильберта означала бы совпадение математики, стало быть, и Науки, с Логикой. Формализм требует, чтобы изложение велось на строго формализованном языке математической логики. Таким языком служит язык логики первого порядка, т.е. логика предикатов, в которой кванторы связывают только предметные переменные. Этого мнения, называемого тезисом Гильберта, придерживаются многие логики и математики. Одним из первых шагов программы Гильберта явилась попытка построения внутренне непротиворечивой и адекватной (полной) формальной арифметики.