Логика предикатов. Понятие предиката. Логические операции над предикатами

«Предикат» с английского переводится как сказуемое. Формально предикатом называется функция, аргументами которой могут быть произвольные объекты из некоторого множества, а значения функции «истина» или «ложь». Предикат можно рассматривать как расширение понятия высказывания.

Определение 1. Одноместным предикатом Р (х) называется всякая функция одного переменного, в которой аргумент x пробегает значения из некоторого мно­жества M, а функция при этом принимает одно из двух значений: истина или ложь.

Множество M, на котором задан предикат, называется областью определения предиката.

Множество , на котором предикат принимает только истинные значения, называется областью истинности предиката Р (х).

Так, предикат P (x) – «х – простое число» определён на множестве N, а множество для него есть множество всех простых чисел.

Определение 2. Предикат Р (х), определённый на множестве M, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если .

Определение 3. Двухместным предикатом P (x,у) называется функция двух переменных х и у, определённая на множестве М = М ₁× М ₂ и принимающая значения из множества {1,0}.

В качестве примеров двухместных предикатов можно назвать предикаты: Q (x,у) – «х = у» предикат равенства, определённый на множестве R ²= R × R; F (x,у) – «х || у» прямая х параллельна прямой у, опредёленный на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.

Аналогично определяется n - местный предикат.

Предикат Р (х) является следствием предиката Q (х) , если ; и предикаты Р (х) и Q (х) равносильны , если .

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения и и л (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Рассмотрим применение операций логики высказыва­ний к предикатам на примерах одноместных предикатов. Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р (х) и Q (х).

Определение 4. Конъюнкцией двух предикатов Р (х) и Q (х) называется новый предикат Р (х)& Q (х), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов Р (х) и Q (х) принимает значение «истина» и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Очевидно, что областью истинности предиката Р (х)& Q (х) является общая часть областей истинности предикатов Р (х) и Q (х), т.е. пересечение .

Так, например, для предикатов Р (х): «х – четное число» и Q (х): «х кратно 3» конъюнкцией Р (х)& Q (х) является предикат «х – четное число и х кратно 3», то есть предикат «х делится на 6».

Определение 5. Дизъюнкцией двух предикатов Р (х) и Q (х) называется новый предикат , который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов при­нимает значение «ложь» и принимает значение «исти­на» во всех остальных случаях. Ясно, что областью истинности предиката является объединение областей истинности предикатов Р (х) и Q (х), то есть объединение .

Определение 6. Отрицанием предиката Р (х) назы­вается новый предикат , который принимает значе­ние «истина» при всех значениях , при которых предикат Р (х) принимает значение «ложь», и принима­ет значение «ложь» при тех значениях , при кото­рых предикат Р (х) принимает значение «истина». Очевидно, что, .

Определение 7. Импликацией предикатов Р (х) и Q (х) называется новый предикат , который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно Р (х) принимает значение «истина», а Q (х) – значение «ложь» и принимает значе­ние «истина» во всех остальных случаях.

Так как при каждом фиксированном справедлива равносильность , то .