Вычеты функции

Если ряд Лорана содержит главную часть, то называется изолированной особой точкой. Коэффициент называется вычетом функции относительно изолированной особой точки .

Изолированная особая точка является полюсом -го порядка, если главная часть содержит конечное число () членов разложения, т.е. имеет вид:

Замечание 1. Пусть можно представить в виде: , тогда является нулем кратности функции , и - полюс того же порядка функции .

Замечание 2. Если , то - полюс -го порядка функции .

Пусть - полюс -го порядка функции . Вычет функции относительно ее полюса -го порядка вычисляется по формуле:

- (residue-вычет), где

- производная -го порядка от функции .

Задача 14.а). Найти вычеты функции .

Решение. Т.к. знаменатель обращается в при - полюс второго порядка функции , полюс 1-го порядка.

Найдем вычет функции относительно ее полюса второго порядка () :

(производная первого порядка, т.к. )

Найдем вычет функции относительно - полюс 1-го порядка

():

(производная должна быть нулевого порядка, т.е. сама функция)

Задача 14.б. Найти вычеты функции в 0 при , , .

Решение. Знаменатель обращается в 0.

Но не является полюсом первого порядка, т.к. на основании замечания 2:

.

Итого, полюсы и .

Найдем вычеты функции относительно ее полюсов первого порядка (, , т.е. используем саму функцию при вычислении предела):

.