Примеры решения задач. Пример №1. Вычислить радиус первой орбиты атома водорода (боровский радиус) и ско-рость электрона на этой орбите

Пример №1. Вычислить радиус первой орбиты атома водорода (боровский радиус) и ско-рость электрона на этой орбите.

Дано: n = 1

r =? v =?

Решение:

Согласно теории Бора, радиус r электронной орбиты и скорость v элек-трона на ней связаны равенством:

m v r = n ħ.

Так как требуется определить величины, относящиеся к первой орбите, то главное квантовое число n = 1 и равенство примет вид:

m v r = ħ.

Для определения неизвестных величин r и v необходимо еще одно уравнение. Воспользуем-ся уравнением движения электрона. Согласно теории Бора, электрон вращается вокруг ядра. При этом сила взаимодействия между электрическими зарядами ядра и электрона сообщает электрону центростремительное ускорение. На основании второго закона Ньютона запишем

m v² / r = 1 / 4 π ε₀ e²/ r²,

(e и m - заряд и масса электрона).

m v² = 1 / 4 π ε₀ e²/ r.

Совместное решение равенств относительно дает:

r = 4 π ε₀ ħ² / me².

Подставив сюда значения ħ, e, m и произведя вычисления, найдем боровский радиус: r₁ = 5,29 10 ^{– 11} м.

Получим выражение скорости электрона на первой орбите: v = ħ / m r.

Расчет:

v = 2, 18 * 10 ⁶ м/c.

Ответ: r₁= 5,29 * 10^{– 11}м, v = 2, 18 * 10⁶м/c.

Пример №2. Определить энергию ε фотона, соответствующего второй линии в первой ин-фракрасной серии (серии Пашена) атома водорода.

Дано:

Для серии Па-шена: n₁ = 3 для второй ли-нии этой серии m = 2

ε =?

Решение:

Энергия ε фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую:

ε = E_i (1 / n₁² - 1 / n₂²).

где E_i – энергия ионизации атома водорода;

n₁ = 1, 2, 3,…- номер орбиты, на которую переходит электрон;

n₂ = n₁ + 1; n₁ + 2; …; n₁ + m – номер орбиты, с которой переходит электрон;

m - номер спектральной линии в данной серии. Для серии Пашена n₁ = 3; для второй линии этой серии m = 2,

n₂ = n₁ + m = 3 + 2 = 5.

Расчет: ε = 0,97 эВ

Ответ: ε= 0,97эВ

Пример №3. Найти наименьшую и наибольшую длины волн спектральных линий водорода в

видимой области спектра.

Дано: k = 2

n = 3, 4, 5, …

λ_min =? λ_max =?

При k = 1, n = 2, 3, 4,… – серия Лаймана в ультрафиолетовой области, при k = 2, n = 3, 4, 5,… – серия Бальмера в видимой области,

при k = 3, n = 4, 5, 6,… – серия Пашена в инфракрасной области, при k = 4, n = 5, 6, 7,… – серия Брекета в инфракрасной области, при k = 5, n = 6, 7, 8,… – серия Пфунда в инфракрасной области.

Таким образом, серия в видимой области спектра соответствует значению k = 2 и n = 3, 4, 5,… Очевидно, наименьшая длина волны спектральных линий этой серии будет при n = ∞.

Тогда:

1 / λ_min = R / 4,

или

λ_min = 4 / R = 3,65 10 ^–7 м.

Наибольшая длина волны соответствует n = 3.

λ_max = 6,56 10 ^–7 м.

Таким образом, видимый спектр водорода лежит в интервале длин волн от 3,65 10 ^–7 м до

6,56 10 ^–7 м.

Ответ: λ(3,65 10^–7; 6,56 10^–7)м.

Пример №4. Искусственно полученный радиоактивный изотоп кальция ⁴⁵Ca₂₀ имеет период полураспада, равный 164 суткам. Найти активность 1 мкг этого препарата.

Дано:

T = 14169600 c m = 10 ^{– 9} кг

N_a =6,02*10²⁶ 1/кг-атом m₀ = 45 кг/кг-атом

A =?

Решение:

Количество атомов радиоактивного вещества ∆N, распадающихся за время ∆t, определяется формулой:

|∆N | = (ln 2 / T) N ∆t.

где T – период полураспада изотопа, N - число его атомов в данной массе.

Число атомов N связано с массой препарата m соотношением: N = (m / m₀) N_a,

где N_a – число Авогадро и m₀ – масса одного кг-атома. Расчет:

A = |∆N | / ∆t = ln 2 m N_a / T m₀ = 6,53 10 ⁸ расп/сек

1 кюри = 3,7 10 ¹⁰ расп/сек, следовательно: А = 17,7 мккюри. Ответ: А= 17,7мккюри.

Пример №5. Найдите энергию, освобождающуюся при ядерной реакции:

E = ∆M 931 МэВ Ответ: E =∆M 931МэВ

Пример №6. Принимая, что источником энергии солнечного излучения является энергия об-разования гелия из водорода по следующей циклической реакции:

₆ C ¹² + ₁ H ¹→ ₇ N ¹³ → ₆ C ¹³ + ₊₁ e ⁰ ₆ C ¹³ + ₁ H ¹ → ₇ N ¹⁴

₇ N ¹⁴ + ₁ H ¹ → ₈ O ¹⁵ → ₇ N ¹⁵ + ₊₁ e ⁰ ₇ N ¹⁵ + ₁ H ¹ → ₆ C ¹² + ₂ He ⁴

Посчитать, сколько тонн водорода ежесекундно должно превращаться в гелий. Солнечная постоянная равна 1,96 кал/см² мин. Принимая, что водород составляет 35 % массы Солнца, по-считать, на сколько лет хватит запаса водорода, если излучение Солнца считать неизменным.

Закон сохранения импульса:

p₃ ² = p₁ ² + p₂ ² – 2 p₁ p₂ cos φ.

Так как:

p ² = (m v)² = (m v² / 2) 2 m = E 2 m,

то примет вид:

2 m₃ E₃ = 2 m₁ E₁ + 2 m₂ E₂ - 4 cos φ m₁ E₁ m₂ E₂,

или

E₃ = m₁ E₁/ m₃ + m₂ E₂/ m₃ - 2 cos φ m₁ E₁ m₂ E₂ / m₃.

Исключая энергию Е₃ получим формулу, связывающую кинетическую энергию бомбарди-рующих частиц с кинетической энергией полученных частиц:

E₁ (m₃ - m₁) / m₃ + Q = E₂ (m₃ + m₂) / m₃ - 2 cos φ m₁ E₁ m₂ E₂ / m₃.

Здесь Q = - 1,18 МэВ.

Решая относительно cos φ и подставив численные данные получим:

cos φ = (m₃ + m₂)/2 m₁ E₁ m₂ E₂ - (m₃ - m₁) / 2 m₁ E₁ m₂ E₂ – m₃ Q / 2 m₁ E₁ m₂ E₂ = 0,59. φ = arccos 0,59 = 54 ⁰

Ответ: φ= arccos 0,59 = 54⁰

Варианты задач автоматизированной контрольной ра-боты – АКР№9

1. Кинетическая энергия Т электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10эВ. Используя соотношение неопределенностей оценить максимальные размеры атома.

^{( L} min ⁼ ₂² _mT^{L )}

2. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна де Бройлев-ской длине волны, определить относительную неопределенность (P_x / P_x) в определении им-пульса этой частицы.

(P_x / P_x = h / (2_*π_* x_*P_x) = h_*P_x / (2_*π_*h_*P_x)= 1/ 2_*π = 0.16)

3. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моноэнергетический пучок элек-тронов с W_k = 10эВ падает на щель шириной а. Можно считать, что если электрон прошел через щель, то его координата известна с точностью х = а. Оценить получаемую при этом относи-тельную неопределенность в определении импульса электронов в 2-х случаях: 1) а = 10нм; 2) а = 0.1нм

(1) P_x/P_x = 1.2_*10^-2; 2) P_x/P_x = 1.2)

4. Электрон с энергией Е = 4.9 эВ движется в положительном направлении оси Х. Высота потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине барьера d вероятность прохождения электрона через барьер будет равна 0.2?

5. Рентгеновское излучение длиной волны λ= 55,8 пм рассеивается плиткой графита (эффект Комптона). Определить длину волны λ` света, рассеянного под углом Θ= 60⁰ к направлению па-дающего пучка света.

(λ` = 57 пм)

6. Определить угол рассеяния фотона Θ, испытавшего соударение со свободным электро-ном, если изменение длины волны при рассеянии равно Δλ = 3,62 пм.

(Θ=120⁰ или 240⁰)

7. Определить импульс электрона отдачи при эффекте Комптона, если фотон с энергией, равной энергии покоя электрона, был рассеян на угол Θ = 1800.

(3,6·10^-22 кг·м/с)

8. Фотон с энергией ε = 0,25 МэВ рассеялся на свободном электроне. Энергия рассеянного электрона ε` = 0,2 МэВ. Определить угол рассеяния Θ.

9. Определить длину волны де Бройля λ, характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость υ = 1Мм/с.

(727 пм)

10. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы длина вол-ны де Бройля была равна 0.1 нм?

(150 В)

11. Определить длину волны де Бройля λ электрона, прошедшую ускоряющую разность по-тенциалов 700 кВ.

(λ = 1.13 пм)

12. Определить длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней квадратич-ной скоростью при Т = 290 К.

(148 нм)

13. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волн де Бройля λ для него стала 1 нм.

(U = 0,821 мВ)

14. Протон движется в однородном магнитном поле с В = 15 мГн по окружности радиусом R

= 1,4 м. Определить длину волны де Бройля для протона.

(λ = 0,197 пм)

15. Определить частоту света, испускаемого возбужденным атомом водорода, при переходе электрона на второй энергетический уровень, если радиус орбиты электрона уменьшится в 9 раз.

(ν = 7,31·10¹⁴ с^-1).

16. Определить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй.

(1,89 эВ)

17. Будет ли наблюдается фотоэффект если на поверхность серебра направить ультрафиоле-товое излучение с λ = 300 нм?

(нет так как ε_γ = 4,1 эВ < А_вых = 4,7 эВ)

18. На поверхность лития падает монохроматический свет с λ =310 нм. Чтобы прекратить эмиссию электронов, нужно приложить задерживающую разность потенциалов U=1,7В. Опре-делить работу выхода А.

(2,3 эВ)

19. Для прекращения фотоэффекта, вызванного облучением ультрафиолетовым светом пла-тиновой пластинки, приложить задерживающую разность потенциалов U1=3,7В. Если платино-вую пластинку заменить на другой пластинкой, то задерживающую разность потенциалов при-дется увеличить до U2=6В. Определить работу выхода электронов с поверхности этой пластин-ки.

(4 эВ)

20. На цинковую пластинку падает свет с длиной волны λ=220 нм. Определить максималь-ную скорость фотоэлектронов.

(760нм/с).