Примеры решения задач. Пример №1. Найти температуру Т печи, если известно, что излучение из отверстия в ней площадью S = 6.1 см2 имеет мощность N = 34.6 Вт

Пример №1. Найти температуру Т печи, если известно, что излучение из отверстия в ней площадью S = 6.1 см² имеет мощность N = 34.6 Вт. Излучение считать близким к излучению АЧТ.

Сравнив (1) и (2) получим:

Т= ⁴ N / (Sσ).

Проверка единицы измерения:

_{[ Т ] = К =} 4 ^{Вт м2 К4} _{= К.} Вт м²

Ответ: Т = 1000К

Пример №2. Температура вольфрамовой спирали 25-ваттной электрической лампочке

T = 2450 К. Отношение ее энергетической светимости к энергетической светимости АЧТ при данной температуре равно k = 0.3. Найти площадь излучаемой поверхности.

Проверка единицы измерения: [S] = м² = Вт_*м²_*K⁴/Вт_*K⁴ = м²;

Расчет числового значения: S = 0.4079_*10^-4 м² ≈ 0.41см²;

Ответ: S = 0.41см²

Пример №3. Какую энергетическую светимость R_э имеет АЧТ, если максимум спектральной плотности его энергетической светимости приходится на длину волны λ = 484 нм?

Дано: Решение:

Для нахождения T воспользуемся законом Вина:

λ_m = C₁/T,

отсюда:

T=C₁/λ.

Получим:

R_э = (σ_*C₁⁴)/λ⁴.

Проверка единицы измерения:

[R_э] = Дж/м²·с = Вт/м²·К⁴ · м⁴_*К⁴/м⁴ = Дж/с·м²;

Расчет числового результата:

R_э = (5,67·10^-8·2.9⁴·10^-12)/(484)⁴·10^-36 = (10²⁰·5.67·2.9⁴)/(484)⁴ = = 73.5 МВт/м² Ответ: R_э= 73.5МВт/м².

Пример №4. Абсолютно черное тело имеет температуру T₁ = 2900 К. В результате остывания тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости изменилось на ∆λ = 9мкм. До какой температуры T₂ охладилось тело?

	Дано:	Решение:
T1 = 2900 К	Согласно закону Вина:
∆λ = 9мкм = 9·10-6 м	λmax2 = C1/T2,
T2=?	где T1-начальная, а T2-конечная температура тела;
	λmax1 = C1/T1

Т.к. тело охлаждается, то T₂ < T₁, а λ_max2 > λ_max1;

λmax2 = λmax1+∆λ

И получим:

C₁/λ_max+∆λ = T₂

T₂ = C₁/(C₁/T₁)+∆λ = 1/(1/T₁)+(∆λ/C₁) = C₁·T₁/(∆λ·T₁+C₁)

Проверка единицы измерения: [T₂] = K= м·К/м = К;

Расчет числового значения: T₂ = 290 К;

Ответ: T₂= 290К.

Пример №5. При нагревании АЧТ длина волны, на которую приходится максимум спек-тральной плотности энергетической светимости изменилась от 690 до 500 нм. Во сколько раз увеличилась при этом энергетическая светимость тела?

где Т₁ и Т₂ – температуры соответствующие значениям λ₁ и λ ₂. Значения температур найдем из 1-го закона Вина:

T1=С1/λmax1

T2=C1/λmax2

Получим:

R_э1 = σ ·С₁⁴/λ_max1⁴;

R_э2 = σ ·С₁⁴/ λ_max2⁴;

Найдем отношение:

R_э2/R_э1=σ·С₁⁴·λ_max1⁴ / λ_max2⁴· σ·C₁⁴=(λ_max1/λ_max2)⁴

Проверка единицы измерения: [R_э2/ R_э1]=1 (безразмерная величина) Расчет числового значения: R_э2/R_э1=3.63 (рад)

Ответ: R_э2/R_э1=3.63рад.

Пример №6. Исследования спектра излучения Солнца показывают, что максимум спек-тральной плотности излучательности соответствует длине волны λ = 500 нм. Принимая Солнце за абсолютно черное тело, определить: 1) излучательность R_e Солнца; 2) поток энергии Ф, из-лучаемый Солнцем; 3) m массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.

Дано:

λ = 500 нм t = 1 c

R_e -? Ф -? m -?

Решение:

1. Излучательность R_e АЧТ выражается законом Стефана-Больцмана: R_e = σ * T⁴.

Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина:

λ _max = b / T.

Выразив отсюда температуру Т и подставив ее в закон Стефана-Больцмана, получим: R_e = σ (b / λ _max)⁴.

Расчет: R_e = 64 МВт / м²

2. Поток энергии Ф, излучаемый Солнцем, равен произведению излучательности Солнца на площадь S его поверхности:

Ф = R_e S

или

Ф = R_e 4 π r²,

где r – радиус Солнца. Подставив в формулу значения π, r и R_e и произведя вычисления полу-чим:

Ф = 3,9 10 ²⁶ Вт.

3. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время t = 1 c, опреде-лим применив закон пропорциональности массы и энергии Е = m с². Энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Ф (мощности излучения) на время:

Е = Ф t.

Следовательно,

Ф t = m с²,

Откуда

m = Ф t / с².

Расчет: m = 4 10 ¹² г.

Ответ: m = 4 10¹²г.

Пример №7. Определить силу тока, протекающего по вольфрамовой проволоке, диаметром d = 0,8 мм, температура которого в вакууме поддерживается постоянной и равной t = 2800 ⁰ С. Поверхность проволоки считать серой с поглощательной способностью А _Т = 0,343. Удельное сопротивление проволоки при данной температуре ρ = 0,92 * 10 ^–4 Ом см. Температура окру-жающей проволоку среды t₀= 17 ⁰ С.