Оптическая свойство гиперболы

Утверждение. Касательная к гиперболы образует равные углы с локальными радиусами.

Доказательство. Пусть - касающаяся гиперболы в точке ее уравнение

- расстояние до касательной от левого фокуса а - расстояние до касательной от правого фокуса Вычислим

где - модуль вектора нормали касательной. Очевидно, что и так как оба угла острые, то с равенства синусов следует равенство самых углов.

Если представить гиперболу как зеркальную кривую, то по законам оптики луч света, выпущенный с одной фокуса, после отражения от гиперболы идет так, будто его выпустили из второго фокуса.

Другие виды уравнений второго порядка.

Множество точек на плоскости, удовлетворяющих уравнению где -многочлен второго порядка от двух переменных, называется кривой второго порядка.

Эллипс, гипербола и парабола не исчерпывают весь класс кривых второго порядка. Рассмотрим другие виды уравнений и соответствующих кривых.

Воображаемый эллипс.

Эта «кривая» задает пустую множество точек на плоскости, но это множество задается многочленом 2-го порядка. Эта "кривая" имеет две "оси симметрии" и один "центр симметрии".

Пара прямых, которые пересекаются.

Действительно, разложение левой части на множители приводит к паре прямых

и

которые пересекаются в точке Эта «кривая» имеет две оси симметрии и один центр симметрии.