Относился к притче

Утверждение. Если точка принадлежит параболе, то уравнение касательной к параболе в этой точке имеет вид:

Доказательство. Действительно, рассмотрим точки параболы в полуплоскости Тогда Поскольку уравнение касательной для явно заданной кривой имеет вид а то имеем

Поскольку получаем - уравнение касательной.

Пример. Написать уравнение касательной к параболе параллельной прямой

Решать эту задачу можно двумя способами.

1 способ. Записываем уравнение касательной к параболе в неизвестной точке принадлежащей параболе:

Эта касательная должна быть параллельна прямой Условие параллельности двух прямых:

Поскольку точка принадлежит параболе, то Итак, Уравнение искомой касательной или

2 способ. Записываем уравнение прямой, параллельной

Ищем точки пересечения прямой и параболы

Касательная имеет с кривой единую двойной точку пересечения, то есть дискриминант должен равняться нулю. Итак Отсюда Точку соприкосновения ищем при

Итак уравнение касательной или