Фокусное свойство эллипса

Отрезок, соединяющий фокус с точкой на эллипсе называется фокальным радиусом этой точки.

Утверждение. Пусть фокальный радиус с левого фокуса а фокальный радиус с правого фокуса к одной и той же точки на эллипсе. Тогда

Доказательство. Действительно, Следовательно точки и находятся внутри эллипса. С уравнение эллипса находим, что
Пусть - точка на эллипсе с координатами тогда вычислим расстояние от этой точки до левого фокуса:

Но так откуда есть

Аналогично проверяется, что

Как следствие получаем фокусное свойство эллипса.

Для любой точки на эллипсе

Фокусное свойство полностью Характеризуя эллипс.

Упражнение. Доказать, что геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух различных заданных точек равна является эллипс с фокусами и большой полуосью

Утверждение. Размер равна половине длины фокальной хорды, перпендикулярной фокальной оси.

Доказательство. Действительно,