Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса

Пусть задана последовательность функций , определенных на множестве .

Определение. поточечно сходится к на , если , т.е. .

Пример. Пусть , . Тогда при имеем: . При и . Таким образом, последовательность поточечно сходится к функции .

Если рассматривать функциональный ряд , составленный из определенных на множестве функций, то под его поточечной сходимостью понимается поточечная сходимость последовательности его частичных сумм.

Выше мы видим, что поточечный предел последовательности непрерывных функций может оказаться разрывной функцией.

Чтобы избежать подобных неприятностей, рассмотрим более сильное понятие равномерной сходимости.

Определение. Последовательность равномерно сходится к при на множестве , если . Это обозначается так: на при .

Равномерная сходимость функционального ряда – это равномерная сходимость последовательности его частичных сумм к сумме ряда на . Это равносильно тому, что на при , т.е. тому, что на .

Укажем на отличие определения равномерной сходимости от определения поточечной сходимости. Определение поточеченой сходимости таково: для всех и для любого существует такое число , что при n> выполняется неравенство . Определение равномерной сходимости содержит значительно более сильное требование, состоящее в том, что существует число , пригодное в качестве для всех .

Теорема. Последовательность функций (fn (x)), n =1, 2, 3,..., определённых на множестве , равномерно сходится на этом множестве тогда и только тогда, когда для любого существует такое число , что при , для всех выполняется неравенство: .

Теорема. Ряд равномерно сходится на множестве тогда и только тогда, когда для любого существует такое число , что при для всех выполняется неравенство: .

Необходимый признак равномерной сходимости ряда. Если ряд равномерно сходится на множестве , то последовательность равномерно стремится к 0 на множестве X.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости последовательности ). на множестве .

Без доказательства.

Из этой теоремы сразу следует критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда: равномерно сходится на .

Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда). Положим в критерий Коши . Тогда получаем: , т.е. .

Теорема. (Признак Вейерштрасса). Пусть выполняется неравенство . Пусть, кроме того, ряд сходится. Тогда ряд сходится на множестве абсолютно и равномерно.

Доказательство. Достаточно проверить справедливость критерия Коши, т.е. доказать, что . Но последнее неравенство следует из того, что , а для ряда выполняется критерий Коши, т.е. .

Примеры использования теоремы.

Пример 1. Ряд равномерно (и абсолютно) сходится на . Действительно, при выполнена оценка , а ряд сходится.

Пример 2. равномерно и абсолютно сходится на всей числовой прямой, т.к. для всех , а - сходится.