Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов

Пусть - произвольная числовая последовательность. Складывая один за другим её члены, получаем последовательность сумм s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2,..., sn = a 1 + a 2 +... + an,.... Каждая из них, начиная со второй, получается из предыдущей прибавлением одного слагаемого – члена заданной последовательности { an }, имеющего тот же номер: sn = sn -1 + an для всех n > 1. Поэтому процесс образования этих сумм можно представить в виде «бесконечно развёртывающейся суммы» a 1 + a 2 +... + an +.... Это не алгебраическая сумма (в алгебре определены лишь суммы конечного числа слагаемых), а запись процесса образования последовательности сумм (sn).

Рассмотрим величины (1)

Определение. Если существует , то говорят, что сходится бесконечный ряд (другое обозначение ) (2) и его сумма равна .

Если последовательность (sn) частных сумм рядасходится к некоторому числу s, то этот ряд называют сходящимся к сумме s.

Если же не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) расходится. Величины называются частичными суммами ряда. Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится Û существует предел его частичных сумм.

Пример. (геометрическая прогрессия). Из элементарной алгебры: . Если , то при и , т.е. ряд сходится. Если , то при и ряд расходится. Если , то ряд имеет вид . и . Если , то . Такая последовательность не имеет предела, так как у нее есть два различных предела ( и 0), а значит общий предел не существует.

Определение. С бесконечным рядом (2) связаны ряды вида , называемые остатками ряда .

Утверждение. Ряд (2) сходится Û остаток - сходится.

Доказательство.

сходится Þ сходится . Но - это и есть исходный ряд.

. Ряд сходится Þ существует . Но частичная сумма ряда имеет вид . Величина не зависит от . Кроме того, при . Поэтому существует . Утверждение доказано.

Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится лишь сумма ряда.

Следствие. Либо все остатки ряда сходятся, либо все расходятся.

Теорема. (1).

Примечание. Поскольку (2), неравенство (1) можно заменить на неравенство .

Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то .

. Действительно, при получаем неравенство , выполняющееся . Это значит, что . Согласно этому следствию, мы получаем новое доказательство того, что ряд расходится при .

Важный пример, показывающий, что необходимый признак сходимости отнюдь не является достаточным.

Пример. Гармонический ряд . , т.е. общий член стремится к 0. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Коши. Следует доказать, что .

В качестве выберем число . Берем любое и любое . Пусть . Тогда .

Теорема. Пусть сходятся ряды , и - постоянная величина. Тогда сходятся ряды .

Доказательство. Обозначая частичные суммы , получим, что частичные суммы рядов равны соответственно , и . Эти величины имеют пределы , , . Теорема доказана.

Теорема. Пусть сходится ряд . Тогда ряд , члены которого образованы в результате последовательной группировки членов исходного ряда, т.е. , N=1,2,…, сходится и имеет ту же самую сумму.

Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда . Ее члены имеют вид и, следовательно, она является подпоследовательностью последовательности частных сумм ряда . Если последовательность имеет предел, то любая ее подпоследовательность имеет тот же самый предел.

Теорема (Критерий Коши сходимости ряда). Ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого ε>0 существует N(ε)>0 такое, что для любого номера n> N(ε) и любого натурального p выполняется неравенство или равносильное неравенство .

Доказательство. Вспомним критерий Коши существования предела последовательности частных сумм (): предел этой последовательности существует тогда и только тогда, когда для любого ε>0 существует N(ε) такое, что для любого номера n> N(ε) и любого натурального p выполняется неравенство .