Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Определение. Абсолютно сходящимся рядом называется сходящийся ряд , для которого сходится и ряд .

Легко доказать, что из сходимости ряда вытекает сходимость ряда . По критерию Коши, примененному к , получаем: . Из полученного неравенства следует, что и для исходного ряда также выполнен критерий Коши, следовательно, он сходится.

Обозначим , т.е. , . Очевидны равенства: . Рассмотрим ряды и . Если они сходятся, то сходится и ряд , т.е. ряд абсолютно сходится. Если же сходятся ряды , то, т.к. , ряды и тоже сходятся. Таким образом, для абсолютной сходимости необходима и достаточна сходимость рядов и .

Теорема. Абсолютная сходимость ряда равносильна одновременной сходимости рядов и . Если ряд сходится, но не абсолютно, то оба ряда и расходятся.

Важным свойством абсолютно сходящегося ряда является его безусловная сходимость. Дадим определение этого понятия. Если переставить члены сходного ряда, т.е. поменять их нумерацию, не добавляя новаых членов и не отбрасывая старых, то получится некоторый новый ряд. На первый взгляд, по аналогии с переместительным законом сложения, полученный в результате перестановки ряд должен сходиться и иметь ту же сумму, что и исходный ряд. Но вскоре мы увидим, что это не всегда так и переместительный закон, доказанный для конечных сумм, не обязательно выполняется для бесонечных рядов.

Теорема (теорема Дирихле о безусловной сходимости). Если ряд сходится абсолютно, то он сходится безусловно.