Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса
Если известно, что все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем в общем случае. Это связано с простым критерием сходимости для таких рядов. Для простоты предположим, что все . Если неравенство выполняется не для всех n, а только для n, начиная с некоторого номера , то мы можем рассматривать не сам исходный ряд, а его остаток , который будет неотрицательным рядом. Теорема. (Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Ряд сходится . Доказательство. . Пусть . Тогда при всех . . Пусть . Поскольку , последовательность возрастает и, по условию, ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса (см. 1-ый семестр), она имеет предел, то есть ряд сходится. Простые следствия из этого критерия – очень полезные теоремы сравнения. Теорема 1. Пусть для всех и пусть ряд - сходится. Тогда сходится ряд . Доказательство. Очевидны неравенства . По условию - сходится. Значит, по приведенному выше критерию, . Но тогда и и, значит, ряд - сходится. Примечание 1. Эта теорема может быть сформулирована и так: Пусть для всех и ряд - расходится, тогда расходится и ряд . Действительно, если бы этот ряд сходился, то первой теореме должен был бы сходиться и ряд . Примечание 2. Теорема 1 справедлива и в случае, когда неравенство выполняется начиная с некоторого номера . Теорема 2. Пусть для всех и . Тогда либо оба ряда и сходятся, либо они оба расходятся. (Т.е. не может быть так, что один из них сходится, а другой расходится). Доказательство. . Выберем . Тогда (т.к. ) при . Если ряд – сходится, то сходится и ряд (по примечанию 2 к теореме 1). Тогда, взяв , получим, что и ряд , т.е. ряд – сходится. Если ряд – сходится, то сходится и ряд и, следовательно, сходится ряд . Теорема доказана. Пример применения теоремы 2. Ряд сходится, т.к. при и ряд – сходится. Теорема. (Признак сходимости Коши). Пусть и при достаточно больших . Тогда ряд сходится. Если же при , то он расходится. Доказательство. Неравенство при равносильно неравенству . Так как , ряд – сходится. По теореме 1 из предыдущего параграфа ряд также сходится. Если же , то и и равенство невозможно. Т.о. необходимый признак сходимости не выполняется и ряд расходится. В предельной форме эта теорема выглядит так: Теорема. Пусть существует . Тогда если – ряд сходится, – ряд расходится, – признак неприменим. Доказательство. Пусть . Выберем так, чтобы (т.е. ). Тогда при , т.е. . Применяя предыдущую теорему получаем, что ряд сходится. Если же , то выберем так, что (т.е. ). Тогда . Вновь по предыдущей теореме ряд расходится.
Теорема. (Признак сходимости Даламбера). Пусть при всех , где . Тогда ряд сходится. Если же при , то ряд расходится. Доказательство. Из условий теоремы следует . Иными словами, и по первой теореме сравнения ряд сходится. Если , то при и ряд расходится. В предельной форме этот признак выглядит так: Теорема. Если существует , то при ряд сходится, при - расходится, а при признак неприменим. Доказательство. При выбираем так, чтобы . Пусть выбрано так, чтобы при , т.е. и , . По предыдущей теореме ряд сходится. Если же , то выберем так, что . Тогда при и ряд расходится. Признаки Коши и Даламбера удобны, но слабоваты. Например, для рядов и : при , при , т.е. признак Коши не применим. Признак Даламбера тем более неприменим, т.к. , . Однако мы знаем, что гармонический ряд расходится, а для второго ряда легко подсчитать частичную сумму: и при . (Здесь использовано тождество ), т.е. ряд сходится. Теорема. (признак Гаусса). Пусть и , .
Эту теорему оставим без доказательства.
В применении к ряду она дает: , - ряд расходится. Для ряда имеем: , - ряд сходится.
3. Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда Теория рядов во многом подобна теории несобственных интегралов. Действительно, несобственный интеграл определяется, как предел . Ряд также определяется с помощью предельного перехода, как . Теорема (Интегральный признак сходимости Маклорена-Коши). Пусть - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд и интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся. Доказательство. Ввиду монотонности при всех выполняются неравенства . Интегрируя, получаем . Тогда , или . Поэтому если сходится, то . Тогда и , ряд сходится. Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное выберем так, чтобы . Тогда . Значит, сходится.
Геометрическая иллюстрация теоремы. - площадь под графиком на отрезке от 1 до . - площадь “верхней лестницы”, расположенной над графиком и - площадь “нижней лестницы”, под графиком.
Пусть ряд и интеграл сходятся. Тогда остаток ряда . Теорема. Сходимость ряда . Ряду соответствует функция . сходится при и расходится при . По доказанной теореме, ряд сходится при и расходится при . Величина зависит от p и при p>1 может рассматриваться, как функция от p. Это – одна из наиболее важных в математике функций, носящая название дзета-функции Римана и обозначаемая (p).
|